Exercício 9 Mostre que as duas equações horárias abaixo, características de uma oscilação amor- tecida subcrítica, são equivalentes: x (t ) = Ae −γ...

Para mostrar que as equações horárias (1) e (2) são equivalentes, podemos começar substituindo a identidade trigonométrica: cos(ωt + B) = cos(ωt)cos(B) - sin(ωt)sin(B) Substituindo na equação (1), temos: x(t) = Ae^(-γt/2)cos(ωt + B) x(t) = Ae^(-γt/2)[cos(ωt)cos(B) - sin(ωt)sin(B)] Agora, podemos ajustar as constantes de integração C e D na equação (2) para que ela fique na mesma forma da equação (1): x(t) = e^(-γt/2)[Ccos(ωt) + Dsin(ωt)] x(t) = e^(-γt/2)[Ccos(B)cos(ωt) - Dsin(B)sin(ωt)] Igualando as duas expressões para x(t), temos: A = Ce^(-γt/2)cos(B) C = Ae^(-γt/2)cos(B) D = Ae^(-γt/2)sin(B) Podemos usar as condições iniciais para determinar os valores de A, B, C e D. Por exemplo, se sabemos que x(0) = x0 e x'(0) = v0, podemos escrever: x(0) = Ae^(0)cos(B) = x0 A = x0/cos(B) x'(0) = -γA/2cos(B) + ωAe^(0)sin(B) = v0 -γx0/2cos(B) + ωx0sin(B) = v0 tan(B) = (2v0)/(γx0) - ω Substituindo os valores de A e B na equação (1), obtemos a equação (2) e vice-versa. Portanto, as duas equações horárias são equivalentes.