A área limitada pela circunferência ⎧⎩⎨x=2costey=2sent Escolha uma opção: a. 4πua b. 3πua c. πua d. 2πua

A área limitada pela circunferência é dada por A = πr², onde r é o raio da circunferência. Nesse caso, temos que x = 2cos(t) e y = 2sen(t), o que nos dá a equação da circunferência x² + y² = 4. Podemos reescrever essa equação como y = √(4 - x²). A área limitada pela circunferência é dada pela integral definida de y em relação a x, de -2 a 2. Assim, temos: A = ∫[-2,2] √(4 - x²) dx Fazendo a substituição trigonométrica x = 2cos(t), temos: dx = -2sen(t) dt x = 2cos(t) ⇒ cos(t) = x/2 √(4 - x²) = 2sen(t) Substituindo na integral, temos: A = ∫[0,π] 2sen²(t) dt A = 2∫[0,π] (1 - cos²(t)) dt A = 2(π - ∫[0,π] cos²(t) dt) Usando a identidade trigonométrica cos²(t) = (1 + cos(2t))/2, temos: A = 2(π - ∫[0,π] (1 + cos(2t))/2 dt) A = 2(π - [t/2 + (sen(2t))/4] [0,π]) A = 2(π - (π/2)) A = πua Portanto, a alternativa correta é a letra c) πua.