Dados L : P = (10, 7,−9) + t(1, 2,−1), t ∈ R e o ponto A = (13, 1, 0) 6∈ L, determinar B,C ∈ L que formam com A um triângulo equilátero.

Para encontrar os pontos B e C que formam um triângulo equilátero com o ponto A, precisamos encontrar um vetor que tenha a mesma direção e magnitude que o vetor AB e outro vetor que tenha a mesma direção e magnitude que o vetor AC. Primeiro, encontramos o vetor AB subtraindo as coordenadas de A pelas coordenadas de um ponto qualquer em L, por exemplo, P = (10, 7, -9): AB = B - A = (10, 7, -9) + t(1, 2, -1) - (13, 1, 0) = (-3, 6, -9) + t(1, 2, -1) Para que AB tenha a mesma magnitude que AC, precisamos que: ||AB|| = ||AC|| ||(-3, 6, -9) + t(1, 2, -1)|| = ||(-3, 6, -9) + s(1, 2, -1)|| Squaring both sides, we get: 9 + 36t^2 + 81 + 12t + 1 = 9 + 36s^2 - 81 - 12s + 1 Simplifying, we get: 36t^2 + 12t = 36s^2 - 12s 4t^2 + t = 4s^2 - s 4t^2 + t - 4s^2 + s = 0 Solving for t, we get: t = (1 ± sqrt(3))s Agora, encontramos o vetor AC subtraindo as coordenadas de A pelas coordenadas de outro ponto em L, por exemplo, Q = (11, 9, -10): AC = C - A = (11, 9, -10) + s(1, 2, -1) - (13, 1, 0) = (-2, 8, -10) + s(1, 2, -1) Para que AC tenha a mesma magnitude que AB, precisamos que: ||AB|| = ||AC|| ||(-3, 6, -9) + t(1, 2, -1)|| = ||(-2, 8, -10) + s(1, 2, -1)|| Squaring both sides, we get: 9 + 36t^2 + 81 + 12t + 1 = 4 + 16s^2 - 40s + 100 + 4s^2 - 16s Simplifying, we get: 36t^2 + 12t = 20s^2 - 56s + 96 9t^2 + 3t = 5s^2 - 14s + 24 9(1 ± sqrt(3))^2 + 3(1 ± sqrt(3)) = 5s^2 - 14s + 24 Solving for s, we get: s = (3 ± sqrt(3))/2 Agora que temos os valores de t e s, podemos encontrar os pontos B e C: B = (10, 7, -9) + t(1, 2, -1) = (10 + t, 7 + 2t, -9 - t) C = (11, 9, -10) + s(1, 2, -1) = (11 + s, 9 + 2s, -10 - s) Substituindo os valores de t e s, temos: B = (10 + (1 ± sqrt(3)), 7 + 2(1 ± sqrt(3)), -9 - (1 ± sqrt(3))) C = (11 + (3 ± sqrt(3))/2, 9 + 2(3 ± sqrt(3))/2, -10 - (3 ± sqrt(3))/2) Portanto, os pontos B e C que formam um triângulo equilátero com o ponto A são: B = (11 + sqrt(3), 9 + 2sqrt(3), -10 - sqrt(3)) C = (11 + (3 + sqrt(3))/2, 9 + 2(3 + sqrt(3))/2, -10 - (3 + sqrt(3))/2)