LISTA-1

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Universidade Federal de Itajubá
LISTA 1 - Geometria Anaĺıtica
(2019.2)
Oliveira
1. Qual é a diferença entre AB e
−→
AB?
2. Trace um representante do vetor
−→
AB, onde A = (100,−1000) e B = (103,−998).
Idem para
−−→
CD, onde C = (531, 237), D = (529, 241).
3. Em cada figura, encontre um representante da soma dos vetores, cujos representantes estão
indicados em vermelho:
1
2
4. Dado o hexágono regular,
verifique que
−→
AB +
−→
AC +
−−→
AD +
−→
AE +
−→
AF = 6
−→
AO.
5. Verifique que as diagonais de um paralelogramo se cortam no ponto médio.
6. Sejam P , A e B pontos do espaço. Seja C um ponto entre A e B tal que
−→
AC = m
−−→
CB para
algum m real. Escreva
−→
PC como CL de
−→
PA e
−−→
PB.
7. Seja ABC um triângulo com medianas AD, BE e CF . Demonstre que
−−→
AD+
−−→
BE +
−→
CF = ~0.
8. Expresse ~i+~j + ~k como CL de 2~i+ 3~j, ~i+ ~k e ~j + 2~k. A CL obtida é única? Explique.
9. Seja ABC um triângulo tal que 3
−→
AB + 3
−−→
BD =
−→
AC, onde D ∈ AC e E ∈ BC. Sabendo que
DE é paralelo a AB, verficar a veracidade das afirmações a seguir:
(1) 3
−−→
ED =
−−→
CB + 3
−→
BA−
−→
CA.
(2) 3
−−→
DE =
−→
AB.
(3) 6
−−→
BD = 2
−→
AC − 9
−−→
DE.
R.: (1) V, (2) F, (3) V.
10. Seja ABC um triângulo e sejam P , Q e R os pontos médios de seus lados. Se X é um ponto
no interior de ABC, mostre que
−−→
XA+
−−→
XB +
−−→
XC =
−−→
XP +
−−→
XQ+
−−→
XR.
3
11. Seja ABC um triângulo e M , N e P os pontos médios de AB, BC e CA, respectivamente.
Exprima
−−→
BP ,
−−→
AN e
−−→
CM em função de
−→
AB e
−→
AC.
R..: 2
−−→
BP =
−→
AC − 2
−→
AB, 2
−−→
AN =
−→
AC +
−→
AB, 2
−−→
CM =
−→
AB − 2
−→
AC.
12. Os vetores −→u , −→v e −→w satisfazem −→u +2−→v = −→w e −→u −3−→v = 2−→w . Sendo −→u um vetor unitário,
encontrar a norma de −→v +−→w . R.: 4/7.
13. No paralelogramo abaixo,
−→
PC = 3
−−→
BP . Sabendo que
−−→
BG = m
−−→
BC + n
−→
AP , encontrar o valor
de m− n. R.: 8(m− n) = 9.
14. Neste cubo, sabendo-se que ‖
−→
AB‖ = 4`, ‖
−→
AF‖ = 3` e ‖
−→
AG‖ = 6`, procura-se a norma de
−−→
AD+
−−→
HG+
−→
AB+
−→
AF.R.: 13` [u.c.].
15. Se A,B,C e D são os vértices de um quadrilátero, demonstrar que
−→
AB +
−−→
AD +
−−→
CB +
−−→
CD =
4
−→
PQ, onde P e Q são os pontos médios de AC e BD, respectivamente.
16. O lado deste hexágono regular mede `[u.c.] e procura-se a norma de ~s:
(a) 6~s = 4
−−→
AD + 4
−−→
DE + 3
−−→
EB.
(b) 6~s = 4
−−→
AD + 2
−−→
DE + 3
−−→
EB. R.: (a) `
√
3
3
[u.c.], (b) `
√
7
3
[u.c.].
17. Sabendo que P e q são os pontos de triseção do segmento BC ABC e
−→
AQ = m
−→
AC + n
−→
AB,
pede-se m+ n. R.: 1.
4
18. Neste paralelogramo,
−−→
BC = 4
−−→
BE, e F é ponto médio de AC. Encontre m e n de modo que
−→
EF = m
−→
AC + n
−→
AB.
R.: m− n = 1.
19. Sejam A,B,C e D pontos quaisquer. Sabendo que M é ponto médio de AC e N é ponto
médio de BD, exprima
−→
AB +
−−→
AD +
−−→
CB +
−−→
CD em função de
−−→
MN .
20. Neste triângulo, a distância de M a A é o dobro da distância de M a B. Sabendo, ainda, que
AN mede a terça parte da medida de CN , exprima
−→
AP em função de
−→
AB e
−→
AC. R.: 10
−→
AP =
6
−→
AB +
−→
AC.
21. Neste triângulo,
−−→
AD e
−−→
CE são medianas e
−−→
PM é paralelo a
−→
BA. Encontrar m e n tais que
−→
AP = m
−−→
PM+n
−−→
BC.
R.: m = −2 e n = 1/3.
22. Seja ABCD um paralelogramo. Sabendo que M é ponto de BC e a área do triângulo ABM é
a metade da área do quadrilátero AMCD e
−−→
AM = m
−−→
DC+n
−−→
AD, encontrar o valor de m+3n.
R.: 3.
23. Verifique que as diagonais de um losango são perpendiculares.
24. Verifique que
‖~a±~b‖2 = ‖~a‖2 ± 2〈~a,~b〉+ ‖~b‖2, 〈~a+~b,~a−~b〉 = ‖~a‖2 − ‖~b‖2.
25. Seja ABC um triângulo. Mostre a Lei dos Cossenos:
‖
−−→
BC‖2 = ‖
−→
AC‖2 + ‖
−→
AB‖2 − 2‖
−→
AC‖‖
−→
AB‖| cos(
−→
AB,
−→
AC)|.
26. Sabendo {~a,~b,~c} é uma base ortonormal do espaço e v é um vetor aleatório, verifique que
~v = 〈~v,~a〉~a+ 〈~v,~b〉~b+ 〈~v,~c〉~c.
27. Seja {~a,~b,~c} é uma base ortonormal do espaço. Sabendo que ~v = x~a + y~b + z~c e ~w =
x′~a+ y′~b+ z′~c, verifique que
〈~v, ~w〉 = xx′ + yy′ + zz′.
28. Sabendo que ~a =~i+ 2~j − 3~k e ~b = ~j − ~k, determine um vetor unitário paralelo a 2~a− 3~b.
5
29. Sejam ~a = 2~i+ 3~j, ~b =~i+ ~k, ~c = ~j + 2~k e ~v =~i+~j + ~k.
(a) Verifique que {~a,~b,~c} é base do espaço.
(b) Determine x, y, z ∈ R tais que ~v = x~a+ y~b+ z~c.
30. Verifique se A = (2, 1, 5), B = (3, 3, 4), C = (4, 5, 3) e D = (2, 4, 1) são vértices de um
paralelogramo.
31. Sejam A = (2, 1, 5) e B = (3, 6, 2). Expresse
−→
AB como CL da base canônica e em seguida
calcule a norma de
−→
AB.
32. Encontre um vetor uninátio da bissetriz do ângulo entre os vetores 2~i+ 3~j +~k e 3~i+ 2~j − 3~k.
33. Determine o valor de x para que os vetores x~i+ 3~j + 4~k e 3~i+~j + 2~k sejam perpendiculares.
34. Encontre os ângulos entre os pares de vetores.
(a) 2~i+~j e ~j − ~k.
(b) ~i+~j + ~k e −2~j − 2~k.
(c) 3~i+ 3~j e 2~i+~j − 2~k.
35. Calcule os ângulos internos do triângulo de vértices (3, 2, 1), (3, 2, 2) e (3, 3, 2).
36. Verifique se os seguintes vetores forma um conjunto LI.
(a) 2~i+~j − ~k, 2~i+ 3~j − 2~k e ~i+ 2~j + ~k.
(b) 3~i+ 2~j + ~k, 2~i+~j + 3~k e 4~i+ 3~j + 6~k.
37. Verifique se os pontos são coplanares:
(a) A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 3, 0) e D = (2, 3, 2).
(b) A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (1, 2, 0).
38. Sejam α, β e γ os ângulos que o vetor não nulo ~v forma com ~i, ~j e ~k. Verifique que
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
39. Verifique as igualdades.
(a) 4〈~a,~b〉 = ‖~a+~b‖2 − ‖~a−~b‖2.
(b) ‖~a×~b‖2 = ‖~a‖2‖~b‖2 − 〈~a,~b〉2.
(c) ‖~a+~b‖2 + ‖~a−~b‖2 = 2‖~a‖2 + 2‖~b‖2.
40. Verifique as propriedades seguintes.
(a) Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈~a,~b〉| ≤ ‖~a‖‖~b‖.
6
(b) Desigualdade Triangular: ‖~a+~b‖ ≤ ‖~a‖+ ‖~b‖.
(c) |‖~a‖ − ‖~b‖| ≤ ‖~a−~b‖.
41. Verifique que −1 ≤ cos(~a,~b) ≤ 1, quaisquer que sejam ~a e ~b.
42. Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = (1, 2, 1), B =
(2, 1, 3) e C = (3, 2, 5).
43. Calcule a área do triângulo de vértices A = (1, 2, 1), B = (3, 0, 4) e C = (5, 1, 3).
44. Seja β = {~a,~b,~c}, onde
~a =
1√
6
(~i+ 2~j + ~k), ~b =
1√
2
(−~i+ ~k) e ~c = 1√
3
(~i−~j + ~k).
(a) Mostre que β é base.
(b) Mostre que β é ortonormal.
(c) Escreva 6~i+~j − ~k como CL dos vetores de β.
45. Determine um vetor unitário perpendicular a ~i− 2~j + 3~k e 3~i−~j + 2~k.
46. Entenda o significado das seguintes afirmações:
(a) A terna ordenada (~a,~b,~c) é positiva se e somente se [~a,~b,~c] > 0.
(b) A terna ordenada (~a,~b,~c) é negativa se e somente [~a,~b,~c] < 0.
(c) O conjunto {~a,~b,~c} é LI se e somente se [~a,~b,~c] 6= 0.
(d) O conjunto {~a,~b,~c} é LD se e somente se [~a,~b,~c] = 0.
47. Ache ~v tal que ~v × (~i+ ~k) = 2(~i+~j − ~k) e ‖~v‖ =
√
6.
48. Sabe-se que ~v é ortogonal a ~i + ~j e a −~i + ~k, tem norma
√
3 e sendo θ o ângulo entre ~v e ~j,
tem-se cos θ > 0. Ache ~v.
49. Considere dois vetores ~a e ~b tais que ‖~a‖ = 5, ‖~b‖ = 2 e o ângulo entre ~a e ~b é π/3. Determine,
como CL de ~a e ~b:
(a) Um vetor ~v tal que 〈~v,~a〉 = 20 e 〈~v,~b〉 = 5.
(b) Um vetor ~v tal que ~v × ~a = ~0 e 〈~v,~b〉 = 12.
50. Calcule [~a,~b,~c] em cada item.
(a) ~a = 2~i−~j + ~k, ~b =~i−~j + ~k e ~c =~i+ 2~j − ~k.
(b) ~a =~i, ~b =~i+ 1000~j e ~c = 100~i− 200~j.
51. Calcule o volume do paraleleṕıpedo que tem um dos vértices em (2, 1, 6) e os três vértices
adjacentes são (4, 1, 3), (1, 3, 2) e (1, 2, 1).
7
52. Calcule o volume do tetraedro de vértices em (2, 1, 6) e os três vértices adjacentes são (4, 1, 3),
(1, 3, 2) e (1, 2, 1).
53. Calcule os seguintes produtos vetorias:
(a) (~i−~j + ~k)× (2~i+~j − ~k).
(b) (−~i+ 2~j + 3~k)× (2~i−~j + 3~k).
(c) (2~i− 3~j − ~k)× (−~i+~j − ~k).
54. Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = (1, 0, 1), B =
(2, 1, 3) e C = (3, 2, 5).
55. Encontre as equações paramétricas do plano contendo A = (1, 0, 2), B =(1, 2, 3) e C =
(0, 1, 2).
56. Sejam A = (1, 2, 1), B = (2, 3, 1) e C = (0,−2, 4).
(a) Verifique que esses pontos determinam um plano.
(b) Encontre as equações paramétricas do plano que passa por A, B e C.
(c) O ponto (2, 1/2,−1/2) pertence ao plano que tem as equações paramétricas encontradas
em (b)?
57. Obtenha a equação cartesiana do plano que contém (5, 1, 2) e é normal a ~i+ 2~j + 3~k.
58. Encontrar a equação cartesiana do plano que contenha A = (1, 2, 1) e é perpendicular a
−→
AB,
onde B = (0,−1, 2).
59. Obtenha a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto A = (1, 2, 1) e é paralelo a
2~i+~j − ~k e ~i+~j − 2~k.
60. Encontre a equação cartesiana do plano que passa por A = (2, 1, 6) e é perpendicular à reta
determinada por A e B = (−4, 3, 3).
61. Seja A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1), C = (1, 2, 1) e D = (−1, 4, 1).
(a) Verifique que estes 4 pontos são coplanares, mas não colineares.
(b) Escreva
−−→
AD como CL de
−→
AB e
−→
AC.
62. Encontrar a interseção, se existe, entre os seguintes pares de retas:
(a) L1 : (x, y, z) = (1,−1, 0) + t(2, 3, 6), t ∈ R e L2 : (x, y, z) = (1,−6, 2) + s(1, 4, 2), s ∈ R.
(b) L1 : (x, y, z) = (2, 1, 4) + t(1, 1, 1), t ∈ R. e L2 : (x, y, z) = (−2, 3,−4) + s(1,−1, 1),
s ∈ R.
63. Determinar a distância de (3,−1, 5) à reta que passa por (3,−2, 4) e (0, 4, 6).
8
64. Encontrar a distância entre as retas
L1 : (x, y, z) = (1, 2,−2) + t(0, 4, 2), t ∈ R e L2 : x+ 4 = 0, y + z = 6.
65. Determinar a distância entre as retas
L1 :
x−5
−7 =
y+3
21
= z−7
14
e L2 : (x, y, z) = (4,−1, 5) + t(1,−3,−1), t ∈ R.
66. Encontrar a interseção entre a reta L e o plano π:
(a) L : (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(4, 3, 2), t ∈ R e π : (x, y, z) = (2, 3, 4) + r(1, 0,−2) + s(2, 2, 2),
r, s ∈ R.
(b) L passa por (0, 0, 0) e (−1, 3, 4) e π passa pelos pontos (2, 3, 1), (1, 1,−4) e (−3, 4, 2).
(c) L passa por (0,−1,−1) e (4, 2,−1) e π passa pelos pontos (1, 3, 2), (−4, 1, 1) e (2, 4,−3).
67. Determinar a interseção dos planos seguintes
(a) π1 : 2x+ 7y − 8z = 0 e π2 : y + z = 0
(b) π1 : 12x− 5y + 7 = 0 e π2 : 9x+ 5y − 3z = 4
(c) π1 : x− y + z = 1, π2 : x+ y + z = 0 e π3 : x− 9y + z = 2
68. Determinar L ∩ π, onde L contém (1, 3, 1) e é ortogonal a π : 6x− 4y + 10z = 30.
69. Demonstrar que os planos π1 : (x, y, z) = (3, 1, 4) + s(1, 7, 3) + t(−3, 8, 0), s, t ∈ R, e π2 :
(x, y, z) = (−2, 4, 6) + s(8,−2, 6) + t(9, 5, 9), s, t ∈ R são paralelos e encontrar d(π1, π2).
70. Seja L a interseção dos planos de equações 3x− y − 4z = 5 e 2x− 3y − z = 4. Sabendo que
π : x+ 2y + 3z = 1, encontre L ∩ π.
71. Dados L : P = (10, 7,−9) + t(1, 2,−1), t ∈ R e o ponto A = (13, 1, 0) 6∈ L, determinar
B,C ∈ L que formam com A um triângulo equilátero.
72. Um triângulo com vértices P = (−1, 1,−1), Q = (2, 3, 4) e R = (3, 4, 6), determinar a área do
triângulo e a distância perpendicular desde a origem até o plano que o contem.
73. O plano π contém (1, 0, 2) e (1,−1, 0) e é paralelo ao vetor (1,−1, 1). Encontrar a equação de
π e a reta que é ortogonal a π e contém (3, 0, 3).
74. Seja
L1 :
x+ 1
2
=
y − 3
3
=
z − 1
−1
e L2 é a reta que passa por (5, 4, 2) e que corta L1 em ângulo reto, determinar L2 e as
coordenadas de L1 ∩ L2.
75. Dar a equação do plano que passa por (1, 0,−1) e que é paralelo a ambas as retas
L1 :
x− 1
2
=
y
3
=
z − 1
4
e L2 :
x+ 1
−1
=
y
2
=
z
1
.
9
76. Seja L a reta de interseção dos planos x+ y + z = 1, x− 2y + 3z = 2. Determinar a equação
do plano que contém a L e que passa por (1,−1, 0).
77. Dadas as retas L1 : x− 1 = y = z + 5 e L2 : x3 =
y+2
2
= z+2
1
. Determinar:
(a) a distância entre L1 e L2.
(b) a equação da reta L3 que perpendicular a L1 e L2.
(c) L3 ∩ L1 e L3 ∩ L2.
78. Encontre o plano π que contém L1 :
x−1
1
= y−2−1 =
z−1
2
e é paralelo L2 :
x
1
= y+7
2
= z
3
.
79. Encontre a equação da reta bissetriz do ângulo externo ao vértice A do triângulo A =
(2,−1,−3), B = (5, 2,−7) e C = (−7, 11, 6).
80. Para que valores a e b, L : x = 3+4t, y = 1−4t, z = −3+t está contida em π : ax+2y−4z+b =
0?
81. Para que valores a e b, π : ax+ by+3z−5 = 0 é perpendicular a L : x = 3+2t, y = 5−3t, z =
−2− 2t, t ∈ R.
82. Determinar o plano que passa pela origem e é perpendicular aos planos 2x − y + 3z = 1 e
x+ 2y + z = 0.
83. Sabendo que a base de um tetraedro é o triângulo (1, 3,−3), (2, 2,−1), (3, 4,−2), obter a
altura do tetraedro a partir do vértice (2, 9,−2) à base.
84. Encontrar a equação do plano que passa pela reta de interseção de π1 : 5x − 2y − z − 3 = 0
com π2 : x+ 3y − 2z + 5 = 0 e é paralelo (5,−1, 3).
85. Encontrar a equação do plano que contém à reta de interseção dos planos x−3y+7z+36 = 0
e 2x+ y − z − 15 = 0 e cuja distância à origem é 3.
86. Encontrar a equação do plano que contém (3, 0, 2) e (4, 1,−1) e que é paralelo à reta L :
x− 2y + z − 2 = 0, 2x+ 3y − 2z − 3 = 0.
87. Encontrar a equação do plano contendo (1, 3, 0) e (4, 0, 0), formando um ângulo θ tal que
cos θ = 1√
3
, com π : x+ y + z − 1 = 0.
88. Encontrar o ponto simétrico de (1, 3,−4) em relação ao plano π : 3x+ y − 2z = 0.
89. Uma reta L contém o ponto (2,−5, 8) e é perpendicular al plano π : x − 2y + 3z − 8 = 0.
Encontrar as coordenadas do ponto de interseção de L e π.
90. Encontrar a equação do plano que pertence à famı́lia de planos 3x− 4y+ z+ 6 + k(2x− 3y+
z + 2) = 0 e é equidistante aos pontos (3,−4,−6) e (1, 2, 2).
10
91. Encontre a equação cartesiana do plano que passa por (1,−2, 1) e é paralelo a ~i + 2~j + 3~k e
2~i−~j + ~k.
92. Encontre a equação cartesiana do plano que passa por (1, 0, 2) e é paralelo ao plano 2x− y +
5z − 3 = 0.
93. Encontre a equação cartesiana do plano que passa por (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
94. Encontre a projeção ortogonal de ~i + 3~j + 2~k sobre a reta perpendicular ao plano paralelo a
2~i−~j + ~k e ~i− 2~j.
95. Encontre um vetor unitário e normal ao plano contendo (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3).
96. Determine a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto (2, 1, 0) e é perpendicular aos
planos
x+ 2y − 3z + 2 = 0, 2x− y + 4z − 1 = 0.
97. Seja π1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1) e C = (1, 1, 0) e π2 o plano
que passa pelos pontos P = (0, 0, 1), Q = (0, 0, 0) e é paralelo ao vetor~i+~j. Encontre (π1, π2).
98. Encontrar o ângulo entre o plano 2x− y + z = 0 e o plano que passa pelo ponto P = (1, 2, 3)
e é perpendicular ao vetor ~i− 2~j + ~k.
99. Encontrar o ângulo entre os planos 3x+ 4y = 0 e x− 4y + 5z − 2 = 0.
100. Calcule o ângulo entre as retas
r1 :
{
x+ y − z + 1 = 0
2x− y + z = 0
e r2 :

x = 2t,
y = 1− t, t ∈ R
z = 2 + 3t.
101. Calcule a distância entre as retas
r1 :
{
x+ y − z + 1 = 1
2x− y + z = 0
e r2 :

x = 2t
y = 1− t, t ∈ R
z = 2 + 3t.
102. Verifique quando os planos em cada um dos itens abaixo se encontram segundo um ponto.
Quando tal ponto existir, encontre suas coordenadas.
(a) 2x+ y + z = 1, x+ 3y + z = 2, x+ y + 4z = 3.
(b) 2x− 2y + z = 0, 2x− 4y + 2z = 1, x+ y = 0.
(c) 2x− y + z = 3, 3x− 2y − z = −1, 2x− y + 3z = 7.
(d) 3x+ 2y − z = 8, 2x− 5y + 2z = −3, x− y + z = 1.
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103. Dados A = (0, 2, 1), r : (x, y, z) = (0, 2,−2) + t(1,−1, 2), ache os pontos de r que distam
√
3
de A. A distância de A à r é maior, menor ou igual a
√
3? Por quê?
104. Exiba a equação simétrica da reta contendo (−3, 2, 1) e perpendicular a x+ y − z − 1 = 0.
105. Determine os planos que contém a reta
r :
{
x− 2y + 2z = 0
3x− 5y + 7z = 0
e formam com o plano π1 : x+ z = 0 um ângulo de 60 graus.
106. (a) Verifique que r : (x, y, z) = (1, 0, 1)+t(1,−1, 0), t ∈ R é paralela ao plano π : x+y+z = 0.
(b) Calcule a distância de r a π.
(c) Existem retas contidas em π que são reversas a r e distam 2 desta?
107. Escreva as equações algébricas do segundo grau em x e y que a elipse em cada item satisfaz:
1. F1 = (0,−6), F2 = (0, 6) e eixo maior vale 14.
2. F1 = (−1, 0), F2 = (1, 0) e um dos vértices é (0,
√2).
3. F1 = (0,−c), F2 = (0, c) e a soma dos raios focais é 2b.
4. F1 = (−1, 2), F2 = (3, 2) e a soma dos raios focais é 6.
5. F1 = (−1,−1), F2 = (1, 1) e a soma dos raios focais é 4.
6. F1 = (−3, 2), F2 = (−3, 6) e a = 4.
7. F1 = (−1,−1), F2 = (1, 1) e a = 3.
8. F1 = (0, 0), F2 = (1, 1) e a = 3.
9. O centro é (0, 0), os focos estão em OX, o eixo menor mede 6 e a distância focal é 8.
10. O centro é (0, 0), os focos estão em OY , o eixo maior mede 10 e a distância focal é 6.
11. Os focos são (0, 6) e (0,−6) e o eixo maior mede 34.
12. Os focos são (5, 0) e (−5, 0) e um dos vértices è (−13, 0).
13. As extremidades do eixo menor são (0, 4) e (0,−4) e o comprimento da corda que passa
por F2 perpendicular a distância focal é 8/5.
14. Os focos são (0, 2
√
3) e (0,−2
√
3) e o comprimento da corda que passa por F2 perpendi-
cular a distância focal é 2.
15. O centro é a origem, (0,−
√
40) é um foco e o ponto (
√
5, 14/3) pertence a elipse.
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