Vamos resolver a questão passo a passo. 1. Domínio de f: A função \( f(x) = 2x^3 - \sqrt{x^2 + 3x} \) é definida quando a expressão dentro da raiz é não negativa. Portanto, precisamos resolver a inequação: \[ x^2 + 3x \geq 0 \] Fatorando, temos: \[ x(x + 3) \geq 0 \] As raízes são \( x = 0 \) e \( x = -3 \). Analisando os sinais, o domínio de \( f \) é \( (-\infty, -3] \cup [0, +\infty) \). 2. Continuidade em [0, +∞): A função \( f(x) \) é um polinômio (que é contínuo) menos uma raiz quadrada (que é contínua onde está definida). Como a raiz quadrada está definida e contínua em \( [0, +\infty) \), podemos concluir que \( f \) é contínua em \( [0, +\infty) \). 3. Raízes da função: Para mostrar que \( 1 \) é a única raiz de \( f \) em \( (0, +\infty) \), precisamos verificar \( f(1) \): \[ f(1) = 2(1)^3 - \sqrt{(1)^2 + 3(1)} = 2 - \sqrt{4} = 2 - 2 = 0 \] Agora, verificamos \( f(2) \) e \( f(1/2) \): \[ f(2) = 2(2)^3 - \sqrt{(2)^2 + 3(2)} = 16 - \sqrt{10} > 0 \] \[ f(1/2) = 2(1/2)^3 - \sqrt{(1/2)^2 + 3(1/2)} = \frac{1}{4} - \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2}} < 0 \] Como \( f(1/2) < 0 \) e \( f(2) > 0 \), e \( f \) é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz em \( (1/2, 2) \), que é \( x = 1 \). 4. Sinais da função: Para \( x > 1 \), \( f(1) = 0 \) e \( f(2) > 0 \), então \( f(x) > 0 \) para \( x > 1 \). Para \( 0 < x < 1 \), como \( f(1/2) < 0 \) e \( f(1) = 0 \), temos que \( f(x) < 0 \) em \( (0, 1) \). Conclusão: O domínio de \( f \) é \( (-\infty, -3] \cup [0, +\infty) \), \( f \) é contínua em \( [0, +\infty) \), \( 1 \) é a única raiz em \( (0, +\infty) \), \( f(x) > 0 \) em \( (1, +\infty) \) e \( f(x) < 0 \) em \( (0, 1) \).