Seja f : [−1, 1]→ R definida por f(x) = x2 + x/(x2 + 1). Prove que o valor máximo de f é f(1). Mostre que existe x1 ∈ (−1, 0) tal que f(x1) é o ...

Para provar que o valor máximo de f é f(1), podemos usar o fato de que a função é crescente no intervalo [0,1]. Para isso, podemos calcular a derivada de f(x) e verificar que ela é sempre positiva no intervalo [0,1]. Assim, o ponto máximo de f(x) ocorre em x=1, que é o limite superior do intervalo. Para mostrar que existe x1 ∈ (−1, 0) tal que f(x1) é o valor mínimo de f, podemos usar o Teorema do Valor Extremo de Weierstrass. Como f(x) é contínua no intervalo fechado [−1, 1], ela deve atingir um valor mínimo e um valor máximo nesse intervalo. Já sabemos que o valor máximo ocorre em x=1, então precisamos encontrar o valor mínimo. Podemos começar verificando que f(x) é sempre positiva no intervalo [0,1]. Para x negativo, podemos reescrever f(x) como f(x) = x2 + x/(x2 + 1) = (x2 + 1)/(x2 + 1) - x/(x2 + 1) = (x2 + 1 - x)/(x2 + 1), que é sempre positiva. Assim, o valor mínimo de f(x) deve ocorrer em algum ponto x1 ∈ (−1, 0). Podemos calcular a derivada de f(x) e verificar que ela é sempre negativa no intervalo (−1,0). Assim, o ponto mínimo de f(x) ocorre em x=x1, que é o valor que satisfaz f'(x1) = 0. Podemos calcular f'(x) como f'(x) = (2x(x2+1) - (x2+1) + x(2x))/(x2+1)2 = (x4 - 2x2 + 1)/(x2+1)2. Assim, f'(x1) = 0 implica que x14 - 2x12 + 1 = 0, que tem uma solução em x1 = -1/2. Portanto, f(x1) = f(-1/2) é o valor mínimo de f(x) no intervalo [−1, 1].