Mostre que a equação x3 − 1/x4 + 1 = 0 admite pelo menos uma raiz real.

Question

Ed · Answer

Para mostrar que a equação $ x^3 - \frac{1}{x^4} + 1 = 0 $ admite pelo menos uma raiz real, podemos usar o Teorema de Bolzano, que afirma que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Vamos definir a função:

$$ f(x) = x^3 - \frac{1}{x^4} + 1 $$

Agora, vamos analisar o comportamento da função em alguns pontos:

1. Para $ x = 1 $:
   $$
   f(1) = 1^3 - \frac{1}{1^4} + 1 = 1 - 1 + 1 = 1
   $$

2. Para $ x = -1 $:
   $$
   f(-1) = (-1)^3 - \frac{1}{(-1)^4} + 1 = -1 - 1 + 1 = -1
   $$

Agora, temos:

- $ f(1) = 1 $ (positivo)
- $ f(-1) = -1 $ (negativo)

Como $ f(x) $ é contínua e muda de sinal entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $, pelo Teorema de Bolzano, podemos concluir que existe pelo menos uma raiz real no intervalo $(-1, 1)$.

Portanto, a equação $ x^3 - \frac{1}{x^4} + 1 = 0 $ admite pelo menos uma raiz real.

Ed · Answer

Podemos resolver essa questão utilizando o Teorema de Bolzano. Primeiramente, vamos reescrever a equação como:

x³ + 1 = 1/x⁴

Multiplicando ambos os lados por x⁴, temos:

x⁷ + x⁴ = 1

Agora, vamos definir a função f(x) = x⁷ + x⁴ - 1. Note que f(x) é contínua em todo o seu domínio, que é o conjunto dos números reais. Além disso, temos:

f(0) = -1
f(1) = 1

Portanto, pelo Teorema de Bolzano, sabemos que existe pelo menos um número real c no intervalo (0,1) tal que f(c) = 0. Ou seja, a equação x³ - 1/x⁴ + 1 = 0 admite pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1).

Álgebra

Mostre que a equação x3 − 1/x4 + 1 = 0 admite pelo menos uma raiz real.

calc1lista4 - grazielle ufscar

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calc1lista4 - grazielle ufscar

Sejam a, b, c ∈ R e suponha que |ax2 + bx+ c| 6 |x|3, para todo x ∈ R. Prove que a = b = c = 0 necessariamente.

Seja f(x) = x5 + x+ 1. Mostre que f admite pelo menos uma raiz no intervalo [−1, 0].

Seja f : [−1, 1]→ R definida por f(x) = x2 + x/(x2 + 1).
Prove que o valor máximo de f é f(1).
Mostre que existe x1 ∈ (−1, 0) tal que f(x1) é o valor mı́nimo de f.

Seja f : [a, b] ⊂ R → R cont́ınua, com f(a) < f(b). Suponha que para quaisquer s, t ∈ [a, b] com s 6= t, tem-se f(s) 6= f(t). Prove que f é estritamente crescente.

Seja f uma função definida por f(x) = 2x3 − √(x2 + 3x).
Determine o domı́nio de f.
Verifique que f é cont́ınua em [0,+∞).
Mostre que 1 a única raiz de f em (0,+∞), que f(2) > 0 e que f(1/2) < 0.
Conclua que f(x) > 0 em (1,+∞) e que f(x) < 0 em (0, 1).

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Seja f(x) = x5 + x+ 1. Mostre que f admite pelo menos uma raiz no intervalo [−1, 0].

Seja f : [−1, 1]→ R definida por f(x) = x2 + x/(x2 + 1).Prove que o valor máximo de f é f(1).Mostre que existe x1 ∈ (−1, 0) tal que f(x1) é o valor mı́nimo de f.

Seja f : [a, b] ⊂ R → R cont́ınua, com f(a) < f(b). Suponha que para quaisquer s, t ∈ [a, b] com s 6= t, tem-se f(s) 6= f(t). Prove que f é estritamente crescente.

Seja f uma função definida por f(x) = 2x3 − √(x2 + 3x).Determine o domı́nio de f.Verifique que f é cont́ınua em [0,+∞).Mostre que 1 a única raiz de f em (0,+∞), que f(2) > 0 e que f(1/2) < 0.Conclua que f(x) > 0 em (1,+∞) e que f(x) < 0 em (0, 1).

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Mostre que 1 a única raiz de f em (0,+∞), que f(2) > 0 e que f(1/2) < 0.
Conclua que f(x) > 0 em (1,+∞) e que f(x) < 0 em (0, 1).