8. Encontre o ponto simétrico P ′ do ponto P = (1, 3,−4) em relação ao plano 3x+ y − 2z = 0.

Questões Para a Compreensão

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Para encontrar o ponto simétrico P' em relação ao plano 3x + y - 2z = 0, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o vetor normal do plano, que é dado pelos coeficientes da equação: n = (3, 1, -2). 2. Encontrar a distância do ponto P ao plano usando a fórmula: d = |(ax + by + cz + d)| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2), onde (a, b, c) é o vetor normal do plano, (x, y, z) é um ponto qualquer do plano e d é o termo independente da equação do plano. Substituindo os valores, temos: d = |(3*1 + 1*3 - 2*(-4) + 0)| / sqrt(3^2 + 1^2 + (-2)^2) = 14 / sqrt(14) = 2*sqrt(14). 3. Encontrar o vetor que liga o ponto P ao plano, que é dado por: v = d * n / |n| = (2*sqrt(14)/sqrt(14)) * (3, 1, -2) = (6, 2, -4). 4. Encontrar o ponto simétrico P' em relação ao plano, que é dado por: P' = P - 2v = (1, 3, -4) - 2*(6, 2, -4) = (-11, -1, 4). Portanto, o ponto simétrico P' é (-11, -1, 4).

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6. Ache o ponto de interseção da reta r, que passa pelos pontos A = (1, 1, 1) e B = (1, 2, 3), com o plano α que tem −→n = (2, 1, 3) como vetor normal e passa pelo ponto C = (0, 0, 0).

7. Encontre o ponto simétrico Q do ponto P = (4, 1, 6) em relação à reta x = 5 + 2ty = 17− 2t z = t, t ∈ R

9. Mostre que a reta r = {(4t+ 4, 3t+ 1, t+ 1); t ∈ R} é tangente à esfera S = (x− 1)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = 3 e encontre o ponto de tangência.

10. Determine a equação da esfera S que tem raio 3 e é tangente ao plano Π : x+2y+2z = −3 no ponto P = (1, 1,−3).

11. Encontre a equação do plano tangente à esfera (x− 1)2 + (y − 2)2 + (z + 2)2 = 3 no ponto P = (2, 3,−1).

12. Encontre a equação da esfera tangente ao plano π1 : x+2y+2z = 16 no ponto (2, 3, 4) e ao plano π2 : 2x+2y+z = −3 no ponto (−1,−1, 1).

13. Os pontos A = (3,−2, 5) e B = (−1, 6,−3) são as extremidades de um diâmetro da circunferência C. Sabendo-se que C contem o ponto D = (1,−4, 1), determine seu centro, raio e o plano π na qual está contida.

Geometria Analítica

8. Encontre o ponto simétrico P ′ do ponto P = (1, 3,−4) em relação ao plano 3x+ y − 2z = 0.

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9. Mostre que a reta r = {(4t+ 4, 3t+ 1, t+ 1); t ∈ R} é tangente à esfera S = (x− 1)2 + (y + 3)2 + (z + 1)2 = 3 e encontre o ponto de tangência.

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