12. Encontre a equação da esfera tangente ao plano π1 : x+2y+2z = 16 no ponto (2, 3, 4) e ao plano π2 : 2x+2y+z = −3 no ponto (−1,−1, 1).

Para encontrar a equação da esfera tangente aos planos π1 e π2, podemos seguir os seguintes passos: Passo 1: Encontrar o centro da esfera Para encontrar o centro da esfera, precisamos encontrar a interseção dos planos π1 e π2. Para isso, podemos resolver o sistema formado pelas equações dos planos: x + 2y + 2z = 16 2x + 2y + z = -3 Multiplicando a segunda equação por -2 e somando com a primeira, obtemos: -3x + 3z = 10 Resolvendo para x e z, temos: x = (10 + 3z)/3 z = (10 + 3x)/3 Substituindo x = 2 e z = 4 (ponto (2, 3, 4) pertencente à esfera), obtemos: x = 4 z = 6 Portanto, o centro da esfera é o ponto C = (4, ?, 6). Para encontrar o valor de y, podemos substituir as coordenadas do ponto (2, 3, 4) na equação do plano π1: x + 2y + 2z = 16 2 + 2y + 8 = 16 2y = 6 y = 3 Assim, o centro da esfera é C = (4, 3, 6). Passo 2: Encontrar o raio da esfera Para encontrar o raio da esfera, precisamos encontrar a distância entre o centro C e um dos pontos de tangência. Podemos escolher o ponto de tangência com o plano π1, que é o ponto (2, 3, 4). A distância entre dois pontos pode ser calculada pela fórmula: d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²] Substituindo os valores, temos: d = √[(2 - 4)² + (3 - 3)² + (4 - 6)²] d = √8 Portanto, o raio da esfera é r = √8. Passo 3: Escrever a equação da esfera A equação da esfera pode ser escrita na forma geral: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r² Substituindo os valores encontrados, temos: (x - 4)² + (y - 3)² + (z - 6)² = 8 Portanto, a equação da esfera tangente aos planos π1 e π2 no ponto (2, 3, 4) e (-1,-1,1), respectivamente, é: (x - 4)² + (y - 3)² + (z - 6)² = 8.