Mostre que se D(A) = 1 e todas as entradas de A são números inteiros, então todas as entradas de A−1 também são números inteiros. Demonstre q...

Para demonstrar que se D(A) = 1 e todas as entradas de A são números inteiros, então todas as entradas de A−1 também são números inteiros, podemos utilizar o Teorema de Laplace. Se D(A) = 1, então o determinante de A é igual a 1. Podemos calcular o determinante de A−1 utilizando a fórmula: D(A−1) = 1/D(A) Como D(A) = 1, temos que D(A−1) = 1/1 = 1. Agora, podemos utilizar o Teorema de Laplace para calcular as entradas de A−1. Para isso, vamos considerar a matriz adjunta de A, denotada por adj(A), que é obtida a partir da matriz dos cofatores de A, transposta e multiplicada pelo determinante de A: adj(A) = (cof(A))T * D(A) Como todas as entradas de A são números inteiros, todas as entradas de cof(A) também são números inteiros. Além disso, como D(A) = 1, todas as entradas de adj(A) são números inteiros. Agora, podemos calcular as entradas de A−1 utilizando a fórmula: A−1 = adj(A)/D(A) Como D(A) = 1, temos que A−1 = adj(A), ou seja, todas as entradas de A−1 são números inteiros. Portanto, se D(A) = 1 e todas as entradas de A são números inteiros, então todas as entradas de A−1 também são números inteiros.