Para que (6−3i).(k+6i) seja um número real, o valor de k deverá ser: a. -12 b. 0 c. 12 d. -18 e. 18

Para que o produto (6-3i).(k+6i) seja um número real, a parte imaginária deve ser igual a zero. Então, temos: (6-3i).(k+6i) = 6k + 36i - 3ki - 18i² Lembrando que i² = -1, podemos substituir: (6-3i).(k+6i) = 6k + 36i - 3ki - 18(-1) (6-3i).(k+6i) = 6k + 36i + 3ki + 18 Agora, igualando a parte imaginária a zero: 6k + 36i + 3ki + 18 = 0 Isolando o k: k(3i) + 6k = -18 - 36i k(3i + 6) = -18 - 36i k = (-18 - 36i)/(3i + 6) k = (-18 - 36i)/(3(i + 2)) k = (-6 - 12i)/(i + 2) Multiplicando o numerador e o denominador por (2-i): k = [(-6 - 12i)(2 - i)]/[(i + 2)(2 - i)] k = [(-12 - 24i + 6i + 12i²)]/[2i + 4 - i - 2i²] Lembrando que i² = -1: k = [(-12 - 18i)]/[2 + 2] k = (-12 - 18i)/4 k = -3 - (9/2)i Portanto, a alternativa correta é a letra D) -18.