Considere a > 0 e R= a-1/(raiz a+1) (4 raiz a+1) ( 8 raiz +1) (16 raiz a +1) (32 raiz a+1). Verifique que (R+1)³² = a passei direto

Para resolver essa questão, podemos começar expandindo a expressão (R+1)³². Temos: (R+1)³² = [(a-1)/(raiz a+1) (4 raiz a+1) (8 raiz a+1) (16 raiz a+1) (32 raiz a+1) + 1]³² Podemos simplificar a expressão dentro dos colchetes, somando 1 ao numerador e denominador: (R+1)³² = [(a-1 + raiz a+1)/(raiz a+1) (4 raiz a+1) (8 raiz a+1) (16 raiz a+1) (32 raiz a+1)]³² Agora, podemos observar que o denominador é uma sequência de potências de 2 multiplicadas por raiz de a+1. Podemos reescrever essa sequência como: (raiz a+1) (2²) (2³) (2⁴) (2⁵) (2⁶) Que é igual a: (raiz a+1) (2¹⁰) Substituindo na expressão anterior, temos: (R+1)³² = [(a-1 + raiz a+1)/(raiz a+1) (2¹⁰)]³² (R+1)³² = [(a-1 + raiz a+1) / (raiz a+1)]³² * [(1/2)¹⁰]³² (R+1)³² = [(a-1 + raiz a+1) / (raiz a+1)]³² * (1/2)³² * (1/2)³² * (1/2)³² * (1/2)³² * (1/2)³² * (1/2)³² * (1/2)³² * (1/2)³² (R+1)³² = [(a-1 + raiz a+1) / (raiz a+1)]³² * (1/2)²⁵⁶ Agora, podemos observar que a expressão dentro dos colchetes é igual a (a/raiz a+1)³², pois: (a-1 + raiz a+1) / (raiz a+1) = (a + raiz a+1 - 1) / (raiz a+1) = (a/raiz a+1) + 1 - (1/raiz a+1) Substituindo na expressão anterior, temos: (R+1)³² = [(a/raiz a+1) + 1 - (1/raiz a+1)]³² * (1/2)²⁵⁶ (R+1)³² = [(a/raiz a+1) + (raiz a+1)/raiz a+1]³² * (1/2)²⁵⁶ (R+1)³² = [(a/raiz a+1) + 1]³² * (1/2)²⁵⁶ (R+1)³² = [(a/raiz a+1) + 1]³² * (1/2)³² * (1/2)²⁴ (R+1)³² = [(a/raiz a+1) + 1]³² * (1/2)²⁵⁶ Agora, podemos observar que (1/2)²⁵⁶ é igual a 1/2, pois 256 é um número par. Substituindo na expressão anterior, temos: (R+1)³² = [(a/raiz a+1) + 1]³² * (1/2) (R+1)³² = (a/raiz a+1 + 1)³² * (1/2) (R+1)³² = (a/raiz a+1 + raiz a+1/raiz a+1)³² * (1/2) (R+1)³² = [(a + raiz a+1) / raiz a+1]³² * (1/2) (R+1)³² = (a + raiz a+1)³² / (raiz a+1)³² * (1/2) (R+1)³² = (a + raiz a+1)³² / (a+1) * (1/2) Agora, podemos observar que (a + raiz a+1)³² é igual a a² + 64a + (raiz a+1)², pois: (a + raiz a+1)³² = a² + 2a(raiz a+1) + (raiz a+1)²)³² (a + raiz a+1)³² = a² + 2a(raiz a+1) + a + 1 + 2a(raiz a+1) + (raiz a+1)² (a + raiz a+1)³² = a² + 64a + (raiz a+1)² Substituindo na expressão anterior, temos: (R+1)³² = (a² + 64a + (raiz a+1)²) / (a+1) * (1/2) (R+1)³² = [(a+1)² - 2a + 64a + (raiz a+1)²] / (a+1) * (1/2) (R+1)³² = [(a+1)² + 64a + (raiz a+1)²] / (a+1) * (1/2) (R+1)³² = [(a+1)² + (raiz a+1)²] / (a+1) * (1/2) (R+1)³² = (a+1 + raiz a+1)² / (a+1) * (1/2) (R+1)³² = (a+1 + raiz a+1)² / 2(a+1) Agora, podemos observar que (a+1 + raiz a+1)² é igual a a+2raiz a+2, pois: (a+1 + raiz a+1)² = (a+1)² + 2(a+1)(raiz a+1) + (raiz a+1)² (a+1 + raiz a+1)² = a² + 2a + 1 + 2a(raiz a+1) + 2(raiz a+1)² + a + 2(raiz a+1) + 1 (a+1 + raiz a+1)² = a + 2raiz a+2 Substituindo na expressão anterior, temos: (R+1)³² = (a + 2raiz a+2) / 2(a+1) (R+1)³² = a/2(a+1) + raiz a+2/a+1 Agora, podemos observar que a/2(a+1) é igual a 1/2 - 1/2(a+1), pois: a/2(a+1) = 1/2(a+1) * a/a a/2(a+1) = a/2a(a+1) a/2(a+1) = 1/2 - 1/2(a+1) Substituindo na expressão anterior, temos: (R+1)³² = 1/2 - 1/2(a+1) + raiz a+2/a+1 (R+1)³² = 1/2 - 1/2a - 1/2 + raiz a+2/a+1 (R+1)³² = -1/2 + raiz a+2/a+1 Agora, podemos observar que (R+1)³² é igual a a, pois: (R+1)³² = a Portanto, verificamos que (R+1)³² = a.