42. (G1 - cftmg 2005) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A e DEFG é um quadrado inscrito nesse triângulo. Considerando-se que BG = 9 e CF =...

Para resolver esse problema, precisamos usar o Teorema de Pitágoras e algumas propriedades do triângulo retângulo e do quadrado inscrito. Primeiro, observe que o triângulo ABC é retângulo em A, então podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o valor de AB: AB² = AC² - BC² AB² = 13² - 5² AB² = 144 AB = 12 Agora, observe que o quadrado DEFG está inscrito no triângulo ABC, então o ponto E está no segmento AC. Como o quadrado DEFG tem lados iguais, temos que EF = FG = GD = DE = x. Podemos usar a semelhança de triângulos para encontrar o valor de x: triângulo AEF é semelhante ao triângulo ABC AE/AC = EF/BC AE/13 = x/5 AE = 13x/5 triângulo DCG é semelhante ao triângulo ABC DC/AC = CG/BC DC/13 = x/5 DC = 13x/5 Como DEFG é um quadrado, temos que: DE + EF + FG + GD = 2x + 2x = 4x Substituindo os valores de AE e DC, temos: 4x = AE + DC 4x = 13x/5 + 13x/5 4x = 26x/5 x = 5/2 Portanto, o perímetro do quadrado DEFG é: 4x = 4(5/2) = 10 Assim, a alternativa correta é a letra A) 24.