31. (Epcar (Afa) 2014) Distribuiu-se, aleatoriamente, 7 bolas iguais em 3 caixas diferentes. Sabendo-se que nenhuma delas ficou vazia, a probabi...

Para calcular a probabilidade de uma caixa conter exatamente 4 bolas, podemos utilizar o Coeficiente Binomial. O número total de maneiras de distribuir 7 bolas em 3 caixas é dado por: C(7+3-1, 3-1) = C(9, 2) = 36 Isso significa que existem 36 maneiras diferentes de distribuir as bolas nas caixas. Agora, precisamos calcular quantas dessas maneiras resultam em uma caixa com exatamente 4 bolas. Podemos fazer isso de duas maneiras: 1) Escolher uma das três caixas para receber as 4 bolas e distribuir as outras 3 bolas nas outras duas caixas. Existem C(3,1) = 3 maneiras de escolher a caixa que receberá as 4 bolas e C(3+2-1, 2-1) = C(4,1) = 4 maneiras de distribuir as outras 3 bolas nas outras duas caixas. Portanto, existem 3 x 4 = 12 maneiras de distribuir as bolas dessa maneira. 2) Escolher duas das três caixas para receberem 2 bolas cada e distribuir as outras 3 bolas na terceira caixa. Existem C(3,2) = 3 maneiras de escolher as duas caixas que receberão 2 bolas cada e C(2+2-1, 2-1) = C(3,1) = 3 maneiras de distribuir as outras 3 bolas na terceira caixa. Portanto, existem 3 x 3 = 9 maneiras de distribuir as bolas dessa maneira. Assim, o número total de maneiras de distribuir as bolas em que uma das caixas contém exatamente 4 bolas é 12 + 9 = 21. Portanto, a probabilidade de uma caixa conter exatamente 4 bolas é: P = 21/36 = 0,5833 = 58,33% Portanto, a alternativa correta é a letra D) 48%.