Demonstre a seguinte igualdade entre conjuntos (A×B) \ (C ×D) = [(A \ C)×B] ∪ [A× (B \D)] , em que “×” representa o produto cartesiano e “\” a dife...

Para demonstrar a igualdade entre conjuntos (A×B) \ (C ×D) = [(A \ C)×B] ∪ [A× (B \D)], podemos utilizar a propriedade distributiva da união sobre a interseção, que afirma que A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Começando pela parte esquerda da igualdade, temos: (A×B) \ (C ×D) = {(a,b) | a∈A, b∈B e (a,b) ∉ (C×D)} Podemos reescrever a condição (a,b) ∉ (C×D) como (a∉C) ou (b∉D), o que nos leva a: (A×B) \ (C ×D) = {(a,b) | a∈A, b∈B, a∉C ou b∉D} Podemos agora separar essa condição em duas partes, uma para cada união da parte direita da igualdade: (A×B) \ (C ×D) = {(a,b) | a∈A, b∈B, a∉C} ∪ {(a,b) | a∈A, b∈B, b∉D} A primeira parte da igualdade é igual a (A \ C) × B, pois estamos pegando todos os elementos de A que não estão em C e multiplicando-os por todos os elementos de B. A segunda parte da igualdade é igual a A × (B \ D), pois estamos pegando todos os elementos de A e multiplicando-os por todos os elementos de B que não estão em D. Portanto, temos: (A×B) \ (C ×D) = [(A \ C)×B] ∪ [A× (B \D)] Assim, a igualdade está demonstrada.