AD1_2024_1 (1)

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AD1
{Teoria dos Números e Álgebra}
Universidade do Federal Estado do Rio de Janeiro
Professor: Gladson Antunes – 2024.1
Questão 1. [2,5 pontos] Demonstre a seguinte igualdade entre conjuntos
(A×B) \ (C ×D) = [(A \ C)×B] ∪ [A× (B \D)] ,
em que “×” representa o produto cartesiano e “\” a diferença entre conjuntos.
Questão 2. [2,5 pontos] Considere a sequência a1, a2, a3, ... definida como
a1 = 3
ak = 7ak−1, para todos os inteiros k ≥ 2.
Prove por indução matemática que an = 3 · 7n−1 para todos os inteiros n ≥ 1.
Questão 3. [2,5 pontos] Cada prisma obtém-se empilhando cubos do mesmo tamanho, brancos e
cinzas, segundo uma regra sugerida na figura abaixo.
(a) (0,5 ponto) Justifique a afirmação: O número total de cubos cinzas necessários para construir
qualquer prisma desta sequência é par?
(b) (0,5 pontos) Segundo o padrão por você observado, quantos cubos cinzas terá o prisma 200?
(c) (1,5 pontos) Explicite uma expressão numérica que permita determinar o número de cubos cinzas
do Prisma n em função de n, isto é, uma expressão que de forma geral associe a ordem da figura
à quantidade de cubos cinzas em sua composição. Utilize o Princípio de Indução para provar a
validade da expressão que você explicitou.
Questão 4. [2,5 pontos] Seja a um inteiro ímpar. Mostre que a2 − 1 é sempre divisível por 8.
Atenção: Entrega da AD1 exclusivamente via postagem pela Plata-
forma até o dia 07 de março de 2024.