Considere a função p : [−1, 5]→ R definida por: { 3 x− x2 se −1 6 x < 1 ||x− 2| − 1| se 1 6 x 6 5 (a) Faça um esboço do gráfico de p. (pontuação 0,...

(a) Para esboçar o gráfico da função p, podemos dividir em duas partes: para x entre -1 e 1, a função é uma parábola com concavidade para baixo, atingindo o valor máximo em x=1/2. Para x entre 1 e 5, a função é uma função modular, com um "V" invertido, atingindo o valor mínimo em x=2 e o valor máximo em x=5. Podemos unir essas duas partes para obter o gráfico completo da função p. (b) Para encontrar as soluções da equação p(x) = 2, podemos resolver a equação em cada intervalo separadamente. Para x entre -1 e 1, temos uma equação quadrática, que pode ser resolvida por meio da fórmula de Bhaskara. Para x entre 1 e 5, temos uma equação modular, que pode ser resolvida por meio de casos. As soluções são x = -0,381966 ou x = 3,61803. (c) Para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais e absolutos de p, podemos derivar a função e igualar a zero. Para x entre -1 e 1, a derivada é -2x + 3, que é negativa para x < 1, atingindo o valor máximo em x=1/2. Para x entre 1 e 5, a derivada é 1 ou -1, dependendo do sinal de x-2. Portanto, temos um ponto de mínimo em x=2 e pontos de máximo em x=1 e x=5. (d) Para esboçar o gráfico da função q, podemos substituir x por (y-2)/2 na expressão de p, obtendo q(y) = p((y-2)/2 + 1) - 2. Podemos então usar o gráfico de p para obter o gráfico de q. Para mostrar que a reta y=2 intercepta o gráfico de p apenas em x=5, podemos usar o fato de que q(y) = 0 apenas quando p((y-2)/2 + 1) = 2. Como vimos anteriormente, p(x) = 2 apenas em x=3,61803 ou x=-0,381966. Portanto, a equação p((y-2)/2 + 1) = 2 só tem solução quando (y-2)/2 + 1 = 5, ou seja, quando y = 12.