No cubo ABCDA′B′C ′D′ de aresta a, os pontos M , N , P e Q são médios das arestas A′B′, B′C ′, C ′D′ e A′D′, respectivamente. Foram feitas as sec...

a) Para calcular o volume do poliedro P, precisamos calcular o volume das duas bases paralelas e das quatro faces laterais triangulares. Como as bases são paralelas, elas têm a mesma área. Cada base é um quadrado de lado a/2, pois M, N, P e Q são pontos médios das arestas do cubo. Portanto, a área de cada base é (a/2)² = a²/4. Para calcular a área de cada face lateral, precisamos calcular a área do triângulo formado por dois pontos médios e um vértice do cubo. Esse triângulo é isósceles, pois os dois lados que partem do vértice têm a mesma medida (a/2) e a base é a aresta do cubo (a). Usando a fórmula da área do triângulo isósceles, temos que a área de cada face lateral é (a²√2)/8. Portanto, o volume do poliedro P é dado por: V = 2 * (a²/4) * (a/2) + 4 * (a²√2)/8 V = (a³√2)/3 b) Para calcular a área da seção média, precisamos encontrar a área da seção transversal do poliedro P pelo plano médio, que é paralelo às bases e passa pelo ponto médio de cada aresta do cubo. Essa seção é um hexágono regular, pois cada uma das seis faces laterais triangulares do poliedro P é cortada pelo plano médio em um triângulo isósceles com base no hexágono. Para calcular a área do hexágono, precisamos encontrar o lado do hexágono. Esse lado é a altura do triângulo isósceles formado por dois pontos médios e um vértice do cubo. Esse triângulo é retângulo, pois a altura é perpendicular à base, que é a aresta do cubo. Usando o teorema de Pitágoras, temos que a altura é a/2√2. Portanto, o lado do hexágono é a/2. Usando a fórmula da área do hexágono regular, temos que a área da seção média é (3a²√3)/2. Para calcular o volume do poliedro P usando a fórmula do volume dos prismatóides, precisamos encontrar a altura do poliedro. Essa altura é a distância entre as duas bases paralelas, que é a altura do triângulo isósceles formado por dois pontos médios e um vértice do cubo. Usando o teorema de Pitágoras, temos que a altura é a/2√2. Portanto, o volume do poliedro P é dado por: V = (a/2√2) * 6[(a²/4) + (3a²√3)/2 + 4(a²√2)/8] V = (a³√2)/3