Questão 5. (a) Seja dado um número natural m = pα1 1 . . . pαr r decomposto em fatores irredutíveis. Seja n um número natural tal que ϕ(pαi i ) di...

(a) Para provar que m divide an - 1 para todo número natural a primo com m, podemos usar o Teorema de Euler, que afirma que a^ϕ(m) ≡ 1 (mod m) para todo a primo com m. Como ϕ(pαi i) divide n para todo i = 1, . . . , r, temos que a^ϕ(pαi i) ≡ 1 (mod pαi i) para todo i = 1, . . . , r. Portanto, a^ϕ(m) ≡ 1 (mod pαi i) para todo i = 1, . . . , r. Como m é o produto dos pαi i, temos que a^ϕ(m) ≡ 1 (mod m), o que implica que m divide an - 1. (b) Para mostrar que a12 - 1 é divisível por 4095 sempre que (a, 1365) = 1, podemos usar o Teorema de Euler novamente. Observe que 4095 = 3 * 5 * 7 * 13. Como (a, 1365) = 1, temos que (a, 3) = (a, 5) = (a, 7) = (a, 13) = 1. Portanto, podemos aplicar o Teorema de Euler para cada um desses fatores primos. Temos que a^2 ≡ 1 (mod 3), a^4 ≡ 1 (mod 5), a^6 ≡ 1 (mod 7) e a^12 ≡ 1 (mod 13). Portanto, a^12 - 1 é divisível por 3, 5, 7 e 13. Como esses fatores são primos entre si, temos que a^12 - 1 é divisível por 4095.