a) Mostre que se 7|a2 + b2, sendo a e b são números inteiros, então 7|a e 7|b. Demonstrar que 7|a Demonstrar que 7|b Seja a um número inteiro ta...

a) Mostre que se 7|a2 + b2, sendo a e b são números inteiros, então 7|a e 7|b.
Demonstrar que 7|a
Demonstrar que 7|b
Seja a um número inteiro tal que 7|a^2 + b^2
Se 7|a, então a = 7k para algum k inteiro
Se 7|b, então b = 7m para algum m inteiro
Suponha que 7 não divide a. Então a = 7k + 1, 7k + 2, 7k + 3, 7k + 4, 7k + 5 ou 7k + 6 para algum k inteiro
Se a = 7k + 1, então a^2 = 49k^2 + 14k + 1 = 7(7k^2 + 2k) + 1
Se a = 7k + 2, então a^2 = 49k^2 + 28k + 4 = 7(7k^2 + 4k) + 2
Se a = 7k + 3, então a^2 = 49k^2 + 42k + 9 = 7(7k^2 + 6k + 1) + 2
Se a = 7k + 4, então a^2 = 49k^2 + 56k + 16 = 7(7k^2 + 8k + 2) + 2
Se a = 7k + 5, então a^2 = 49k^2 + 70k + 25 = 7(7k^2 + 10k + 3) + 4
Se a = 7k + 6, então a^2 = 49k^2 + 84k + 36 = 7(7k^2 + 12k + 5) + 1
Em todos os casos, a^2 é da forma 7k + 1, 2 ou 4
Se 7|a^2 + b^2, então a^2 + b^2 = 7n para algum n inteiro
Se 7 não divide a, então a^2 é da forma 7k + 1, 2 ou 4, e b^2 é da forma 7k + 0, 1, 2, 4 ou 5
Não há combinação de a^2 e b^2 que resulte em 7n se 7 não divide a
Logo, 7|a
Analogamente, pode-se demonstrar que 7|b