Considere a função p : [−1, 5]→ R definida por: { 3 x− x2 se −1 6 x < 1 ||x− 2| − 1| se 1 6 x 6 5 (a) Faça um esboço do gráfico de p. (pontuação 0,...

(a) Para esboçar o gráfico da função p, podemos dividir em duas partes: para x entre -1 e 1, a função é uma parábola com concavidade para baixo, atingindo o valor máximo em x=1/2. Para x entre 1 e 5, a função é uma função modular, com um "V" invertido, atingindo o valor mínimo em x=2 e o valor máximo em x=5. Podemos unir essas duas partes para obter o gráfico completo da função p. (b) Para encontrar as soluções da equação p(x) = 2, podemos resolver as duas equações: 3x - x^2 = 2 e |x-2|-1 = 2. A primeira equação pode ser reescrita como x^2 - 3x + 2 = 0, que tem como soluções x=1 e x=2. A segunda equação pode ser reescrita como |x-2| = 3, que tem como soluções x=-1 e x=5. Portanto, as soluções da equação p(x) = 2 são x=-1, x=1, x=2 e x=5. (c) Para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais e absolutos de p, podemos derivar a função e igualar a zero. Temos que p'(x) = 3-2x para -1 < x < 1 e p'(x) = 2(x-2)/|x-2| para 1 < x < 5. Para -1 < x < 1, a derivada é sempre positiva, o que significa que a função é crescente nesse intervalo. Portanto, o ponto de mínimo absoluto é p(-1) = 4. Para 1 < x < 2, a derivada é negativa, o que significa que a função é decrescente nesse intervalo. Portanto, o ponto de máximo local é p(2) = 1. Para 2 < x < 5, a derivada é positiva quando x > 2 e negativa quando x < 2, o que significa que a função é crescente no intervalo (2,5] e decrescente no intervalo [-1,2). Portanto, o ponto de mínimo local é p(5) = 8. Portanto, os pontos de máximo e mínimo locais e absolutos de p são: máximo local em x=2, mínimo absoluto em x=-1 e mínimo local em x=5. (d) Para esboçar o gráfico da função q, podemos substituir x por (y-1)/2 na função p, obtendo q(y) = p((y-1)/2) - 2. O gráfico de q é uma translação do gráfico de p para a esquerda em 1 unidade e para baixo em 2 unidades. A reta y=2 intercepta o gráfico de p apenas quando x=5, o que significa que a reta y=2 intercepta o gráfico de q apenas quando y=11. Portanto, a reta y=2 intercepta o gráfico de p apenas quando x=5 e intercepta o gráfico de q apenas quando y=11.