Prove that if a, b, c and d are rational numbers such that a√2 + b√3 = c√2 + d√3 then a = c and b = d. a, b, c and d are rational numbers a√2 + b√...

Para provar que a = c e b = d, podemos usar o método de igualar os coeficientes. a√2 + b√3 = c√2 + d√3 Podemos reorganizar a equação para obter: (a - c)√2 = (d - b)√3 Agora, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado: (a - c)² * 2 = (d - b)² * 3 Desenvolvendo a equação, temos: 2a² - 4ac + 2c² = 3d² - 6bd + 3b² Agora, podemos agrupar os termos com raiz quadrada de 2 e os termos com raiz quadrada de 3: 2a² - 4ac + 2c² - 3b² + 6bd - 3d² = 0 Observe que todos os coeficientes são racionais, portanto, a única maneira de a equação ser verdadeira é se cada termo for igual a zero. Assim, temos: 2a² - 4ac + 2c² = 0 3b² - 6bd + 3d² = 0 Podemos fatorar cada equação: 2(a - c)² = 0 3(b - d)² = 0 Como a, b, c e d são números racionais, a única maneira de cada equação ser verdadeira é se (a - c) e (b - d) forem iguais a zero. Portanto, a = c e b = d, como queríamos demonstrar.