Consider the function f: [1,+∞) → R, defined by f(x) = x^3 - x^2. (a) Define increasing function and prove that f is increasing. (b) Define unbound...

Consider the function f: [1,+∞) → R, defined by f(x) = x^3 - x^2. (a) Define increasing function and prove that f is increasing. (b) Define unbounded function and prove that f is unbounded.

f(x) = x^3 - x^2
f is defined on [1,+∞)
An increasing function is a function f: X → R, defined on the set X ⊂ R, such that for x, y ∈ X, x < y implies f(x) < f(y).
f is an increasing function
An unbounded function is a function f: X → R, defined on the set X ⊂ R, such that for any A > 0, there exists x ∈ X such that f(x) > A.
f is an unbounded function

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27/02/2024

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RAPHAEL GONÇALVES

Respostas

27.02.2024

(a) Uma função crescente é uma função f: X → R, definida no conjunto X ⊂ R, tal que para x, y ∈ X, x < y implica f(x) < f(y). Para provar que f é crescente, precisamos mostrar que para todo x, y ∈ [1,+∞) com x < y, temos que f(x) < f(y). Seja x, y ∈ [1,+∞) com x < y. Então, temos: f(y) - f(x) = (y^3 - y^2) - (x^3 - x^2) = y^3 - x^3 - y^2 + x^2 = (y - x)(y^2 + xy + x^2) - (y - x)x^2 = (y - x)(y^2 + xy + x^2 - x^2) = (y - x)(y^2 + xy) > 0 A última desigualdade segue do fato de que y > x e y, x > 0. Portanto, f(y) - f(x) > 0, o que implica que f(y) > f(x). Concluímos que f é crescente. (b) Uma função não limitada é uma função f: X → R, definida no conjunto X ⊂ R, tal que para qualquer A > 0, existe x ∈ X tal que f(x) > A. Para provar que f é não limitada, precisamos mostrar que para qualquer A > 0, existe x ∈ [1,+∞) tal que f(x) > A. Seja A > 0. Escolha x = max{A+1, 2}. Então, temos: f(x) = x^3 - x^2 = x^2(x - 1) > x^2 > (A+1)^2 > A^2 + 2A + 1 > A + 1 > A Portanto, f(x) > A. Concluímos que f é não limitada.