Considere a recorrência xn+2 - 4xn = 9n, com as condições iniciais x0 = x1 = 0. (a) Encontre a solução geral da recorrência homogênea xn+2 - 4xn = ...

(a) A recorrência homogênea associada é xn+2 - 4xn = 0. A equação característica correspondente é r^2 - 4 = 0, que tem raízes r1 = 2 e r2 = -2. Portanto, a solução geral da recorrência homogênea é xn = c1 * 2^n + c2 * (-2)^n, onde c1 e c2 são constantes determinadas pelas condições iniciais. (b) Substituindo xn = A + nB na recorrência xn+2 - 4xn = 9n, temos: (A + (n+2)B) - 4(A + nB) = 9n -2A + 6B = 9n Portanto, temos que B = 3/2 e A = -9/4. Logo, xn = -9/4 + (3/2)n é uma solução particular da recorrência xn+2 - 4xn = 9n. (c) A solução geral da recorrência original é a soma da solução particular encontrada em (b) com a solução geral da recorrência homogênea encontrada em (a). Portanto, a solução geral da recorrência original é xn = c1 * 2^n + c2 * (-2)^n - 9/4 + (3/2)n, onde c1 e c2 são constantes determinadas pelas condições iniciais x0 = x1 = 0.