Mostre, por indução finita, que se n é um inteiro positivo então 7n − 1 é divisível por 6. Mostre, por indução finita, que se n é um inteiro positi...

Vamos lá! Para provar que 7n - 1 é divisível por 6, vamos usar o princípio da indução finita. 1) Caso base: Para n = 1, temos 7(1) - 1 = 6, que é divisível por 6. 2) Hipótese de indução: Suponha que para um inteiro positivo k, temos que 7k - 1 é divisível por 6. 3) Passo da indução: Vamos provar que a afirmação é verdadeira para k + 1. Temos: 7(k+1) - 1 = 7k + 6 Podemos reescrever 7k + 6 como 6k + k + 6. Pela hipótese de indução, sabemos que 7k - 1 é divisível por 6. Logo, podemos escrever: 7k - 1 = 6m (para algum inteiro m) Substituindo na expressão anterior, temos: 7(k+1) - 1 = 6m + k + 6 Agora, precisamos provar que 6m + k + 6 é divisível por 6. Podemos reescrever essa expressão como: 6(m+1) + (k+1) Como m é um inteiro, 6(m+1) é divisível por 6. Além disso, k+1 é um inteiro, então a soma 6(m+1) + (k+1) também é divisível por 6. Portanto, concluímos que se n é um inteiro positivo, então 7n - 1 é divisível por 6.