Mostre, por indução finita, que 1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ n · 3n−1 = (2n− 1)3n + 1 / 4. Seja (an)n≥1 progressão geométrica com termo inicia...

Para provar que 1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ n · 3n−1 = (2n− 1)3n + 1 / 4 por indução finita, primeiro devemos verificar se a fórmula é válida para n = 1. Substituindo n = 1, temos: 1 · 30 = (2¹ - 1)3¹ + 1 / 4 1 = 1 A fórmula é válida para n = 1. Agora, suponha que a fórmula seja válida para n = k, ou seja: 1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ k · 3k−1 = (2k− 1)3k + 1 / 4 Vamos provar que a fórmula também é válida para n = k + 1. Adicionando (k + 1) · 3k à fórmula acima, temos: 1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ k · 3k−1 + (k + 1) · 3k = (2k− 1)3k + 1 / 4 + (k + 1) · 3k = (2k− 1)3k + 1 / 4 + 4 · (k + 1) · 3k / 4 = (2k− 1)3k + 1 / 4 + (4k + 4) · 3k / 4 = (2k− 1)3k + 1 / 4 + (2k + 2) · 3k = (2k− 1)3k + 1 / 4 + (2k− 1 + 1) · 3k+1 = (2k+1− 1)3k+1 + 1 / 4 Portanto, a fórmula é válida para n = k + 1. Concluímos que a fórmula é válida para todos os valores de n. Para provar que Sn ≤ r(r−1)an / 2 por indução finita, primeiro devemos verificar se a fórmula é válida para n = 1. Substituindo n = 1, temos: S1 = a1 ≤ r(r−1)a1 / 2 A fórmula é válida para n = 1. Agora, suponha que a fórmula seja válida para n = k, ou seja: Sk ≤ r(r−1)ak / 2 Vamos provar que a fórmula também é válida para n = k + 1. Adicionando ak+1 em ambos os lados da fórmula acima, temos: Sk + ak+1 ≤ r(r−1)ak / 2 + ak+1 = r(r−1)ak / 2 + ak+1(r-1) / 2 + ak+1 / 2 = (r(r-1)ak + 2ak+1(r-1)) / 2 = r(r-1)(ak+1) / 2 Portanto, a fórmula é válida para n = k + 1. Concluímos que a fórmula é válida para todos os valores de n.