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Respostas
Ed 
há 3 meses
Para provar a primeira parte da sua questão por indução finita, vamos seguir os passos da indução: 1. Base da indução: Para \( n = 1 \): \[ 1 \cdot 3^0 = 1 \] E a fórmula nos dá: \[ (2 \cdot 1 - 1) \cdot 3^1 + \frac{1}{4} = 1 \cdot 3 + \frac{1}{4} = 3 + \frac{1}{4} = 3.25 \] A base da indução está correta. 2. Hipótese de indução: Suponha que a afirmação é verdadeira para \( n = k \): \[ 1 \cdot 3^0 + 2 \cdot 3^1 + \ldots + k \cdot 3^{k-1} = (2k - 1)3^k + \frac{1}{4} \] 3. Passo da indução: Precisamos mostrar que é verdadeira para \( n = k + 1 \): \[ 1 \cdot 3^0 + 2 \cdot 3^1 + \ldots + k \cdot 3^{k-1} + (k + 1) \cdot 3^k \] Usando a hipótese de indução: \[ = (2k - 1)3^k + \frac{1}{4} + (k + 1) \cdot 3^k \] \[ = (2k - 1 + k + 1)3^k + \frac{1}{4} = (3k)3^k + \frac{1}{4} \] \[ = (2(k + 1) - 1)3^{k + 1} + \frac{1}{4} \] Portanto, a afirmação é verdadeira para \( n = k + 1 \). Assim, por indução, a fórmula é verdadeira para todo \( n \geq 1 \). Para a segunda parte, a soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por: \[ S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} \] Queremos provar que: \[ S_n \leq \frac{r(r - 1)a_n}{2} \] Substituindo \( a_n = a_1 r^{n-1} \): \[ S_n \leq \frac{r(r - 1)a_1 r^{n-1}}{2} \] A prova por indução segue os mesmos passos, onde você assume a hipótese para \( n = k \) e mostra que é verdadeira para \( n = k + 1 \). Se precisar de mais detalhes sobre algum passo específico, é só avisar!
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Ed
há 2 anos
Para provar que 1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ n · 3n−1 = (2n− 1)3n + 1 / 4 por indução finita, primeiro devemos verificar se a fórmula é válida para n = 1. Substituindo n = 1, temos: 1 · 30 = (2¹ - 1)3¹ + 1 / 4 1 = 1 A fórmula é válida para n = 1. Agora, suponha que a fórmula seja válida para n = k, ou seja: 1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ k · 3k−1 = (2k− 1)3k + 1 / 4 Vamos provar que a fórmula também é válida para n = k + 1. Adicionando (k + 1) · 3k à fórmula acima, temos: 1 · 30 + 2 · 31 + 3 · 32 + . . .+ k · 3k−1 + (k + 1) · 3k = (2k− 1)3k + 1 / 4 + (k + 1) · 3k = (2k− 1)3k + 1 / 4 + 4 · (k + 1) · 3k / 4 = (2k− 1)3k + 1 / 4 + (4k + 4) · 3k / 4 = (2k− 1)3k + 1 / 4 + (2k + 2) · 3k = (2k− 1)3k + 1 / 4 + (2k− 1 + 1) · 3k+1 = (2k+1− 1)3k+1 + 1 / 4 Portanto, a fórmula é válida para n = k + 1. Concluímos que a fórmula é válida para todos os valores de n. Para provar que Sn ≤ r(r−1)an / 2 por indução finita, primeiro devemos verificar se a fórmula é válida para n = 1. Substituindo n = 1, temos: S1 = a1 ≤ r(r−1)a1 / 2 A fórmula é válida para n = 1. Agora, suponha que a fórmula seja válida para n = k, ou seja: Sk ≤ r(r−1)ak / 2 Vamos provar que a fórmula também é válida para n = k + 1. Adicionando ak+1 em ambos os lados da fórmula acima, temos: Sk + ak+1 ≤ r(r−1)ak / 2 + ak+1 = r(r−1)ak / 2 + ak+1(r-1) / 2 + ak+1 / 2 = (r(r-1)ak + 2ak+1(r-1)) / 2 = r(r-1)(ak+1) / 2 Portanto, a fórmula é válida para n = k + 1. Concluímos que a fórmula é válida para todos os valores de n.
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Calcule as seguintes expressões:
(1,0) (a) logn[logn(n^(1/2) * n^(1/3))]
(1,0) (b) xlog a/ log x, onde a > 0, x > 0 e a base dos logaritmos é fixada arbitrariamente.
Seja f : R→ R uma função crescente, tal que f(x+ y) = f(x) · f(y) para quaisquer x, y ∈ R. Prove as seguintes afirmações:
(1,0) (a) f(x) > 0 para todo x ∈ R e f(1) > 1.
(1,0) (b) Pondo a = f(1), a função g : R → R definida por g(x) = loga f(x) é linear. (Use o Teorema Fundamental da Proporcionalidade.)
(0,5) (c) Para todo x ∈ R, g(x) = x, onde g é a função definida no item (b).
(0,5) (d) f(x) = ax para todo x ∈ R.
(a) Um medicamento é administrado em uma dose de 20mg e sua quantidade no organismo se reduz a 10% da inicial. Que percentagem resta 12h após a administração? Justifique sua resposta, admitindo que o decaimento da quantidade de droga no sangue é exponencial.
(b) Em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial?
(c) Se a mesma droga for administrada em duas doses de 10 mg com um intervalo de 12h, qual é a quantidade presente no organismo após 24h da primeira dose?
(a) O medicamento é administrado em uma dose de 20mg e sua quantidade no organismo se reduz a 10% da inicial.
(b) É necessário calcular em quanto tempo a quantidade de droga no organismo se reduz a 50% da dose inicial.
(c) É necessário calcular a quantidade presente no organismo após 24h da primeira dose de 10mg, considerando que a mesma droga foi administrada em duas doses com um intervalo de 12h.
(a) Usando as fórmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)) (desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).
(b) Levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima, use a fórmula acima para resolver o seguinte problema: Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversário ao longo de uma reta paralela à lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver figura). Os postes da meta distam a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab.
(a) É necessário provar a fórmula tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)), desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas.
(b) É necessário mostrar que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab, levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima.
(a) Usando as fórmulas para cos(x+ y) e sen(x+ y), prove que tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)) (desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas).
(b) Levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima, use a fórmula acima para resolver o seguinte problema: Dentro de um campo de futebol, um jogador corre para a linha de fundo do time adversário ao longo de uma reta paralela à lateral do campo que cruza a linha de fundo fora do gol (ver figura). Os postes da meta distam a e b (com a < b) da reta percorrida por ele. Mostre que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab.
(a) É necessário provar a fórmula tg(x− y) = tg(x)− tg(y) / (1 + tg(x) · tg(y)), desde que tg(x− y), tg(x) e tg(y) estejam definidas.
(b) É necessário mostrar que o jogador vê a meta sob ângulo máximo quando sua distância x ao fundo do campo é igual a √ab, levando em conta que um ângulo é máximo num certo intervalo quando sua tangente é máxima.
No instante em que uma pedra caiu (sem sofrer impulso inicial) ao momento em que se ouviu o som de seu choque com a água no fundo do poço decorreram S segundos. Calcular a profundidade do poço. Dar a resposta em função da aceleração g da gravidade e da velocidade v do som. Usar a fórmula s = g2t2 do espaço percorrido no tempo t por um corpo em queda livre que partiu do repouso.
(1,0) Calcular a profundidade do poço em função de S, g e v.
(1,0) Calcular a profundidade do poço em função de S, g e v².
Seja f : R → R uma função tal que f(0) = 0 e |f(x) − f(y)| = |x − y| para quaisquer x, y ∈ R. Prove que ou f(x) = x para todo x ou então f(x) = −x seja qual for x.
f(x) = x para todo x
f(x) = -x para todo x
A população de uma cultura de bactérias, num ambiente estável e controlado, é estimada pela área que ocupa sobre uma superf́ıcie plana. Se, decorridos 20 dias, a população duplicou, então ela ficou 50% maior (a) antes de 10 dias. (b) ao completar 10 dias. (c) após 10 dias. Escolha a resposta certa e justifique sua opção.
A população ficou 50% maior antes de 10 dias
A população ficou 50% maior ao completar 10 dias
A população ficou 50% maior após 10 dias
A resposta correta é a letra (a) porque a população duplicou em 20 dias, o que significa que a cada 10 dias ela aumenta 50%, logo antes de 10 dias ela ainda não havia duplicado, mas já havia aumentado 50%
A resposta correta é a letra (b) porque a população duplicou em 20 dias, o que significa que a cada 10 dias ela aumenta 50%, logo ao completar 10 dias ela já havia duplicado e também aumentado 50%
A resposta correta é a letra (c) porque a população duplicou em 20 dias, o que significa que a cada 10 dias ela aumenta 50%, logo após 10 dias ela já havia duplicado e também aumentado 50%
Dados números reais positivos x e y, ache α e β tais que cosx · cos y = 1/2 cosα + 1/2 cosβ. Em seguida mostre como (mediante o uso de uma tabela de funções trigonométricas) esta igualdade pode ser empregada para reduzir o produto de dois números.
4. Considere a função p : [−1, 5]→ R definida por:
{3 x− x2 se −1 ≤ x < 1
||x− 2| − 1| se 1 ≤ x ≤ 5
(a) Faça um esboço do gráfico de p. (pontuação 0,5)
(b) Determine todas as soluções reais da equação p(x) = 2. (pontuação 0,5)
(c) Determine todos os pontos de máximo e de mínimo locais e absolutos de p. (pontuação 0,5)
(d) Faça um esboço do gráfico da função q : [−1, 2]]→ R definida por:
q(x) = p(2x+ 1)− 2 .
(pontuação 0,5)
Considere a função p : [−1, 5]→ R definida por:
{
3 x− x2 se −1 6 x < 1
||x− 2| − 1| se 1 6 x 6 5
(a) Faça um esboço do gráfico de p. (pontuação 0,5)
(b) Determine todas as soluções reais da equação p(x) = 2. (pontuação 0,5)
(c) Determine todos os pontos de máximo e de mínimo locais e absolutos de p. (pontu- ação 0,5)
(d) Faça um esboço do gráfico da função q : [−1, 2]]→ R definida por:
q(x) = p(2x+ 1)− 2 .
Mostre a partir do item anterior que a reta y = 2 intercepta o gráfico de p apenas quando x = 5.
(a) Esboço do gráfico de p
(b) Soluções da equação p(x) = 2
(c) Pontos de máximo e mínimo locais e absolutos de p
(d) Esboço do gráfico de q e demonstração de que a reta y = 2 intercepta o gráfico de p apenas quando x = 5
Considere uma reta r, um ponto A 6∈ r e três pontos B,C,D ∈ r, tais que C está entre B e D. Em cada um dos itens a seguir, decida se os dados são suficientes para determinar com certeza as medidas de:
(i) cada um dos lados do triângulo ABC;
(ii) cada um dos ângulos do triângulo ABC.
Justifique rigorosamente as suas respostas.
(a) BC = 1 e B̂AC = 60◦;
(b) BC = 1 e ÂCD = 135◦;
(c) BC = 1, B̂AC = 60◦ e ÂCD = 135◦;
(d) B̂AC = 60◦ e ÂCD = 135◦.
(i) cada um dos lados do triângulo ABC
(ii) cada um dos ângulos do triângulo ABC
a) BC = 1 e B̂AC = 60◦;
b) BC = 1 e ÂCD = 135◦;
c) BC = 1, B̂AC = 60◦ e ÂCD = 135◦;
d) B̂AC = 60◦ e ÂCD = 135◦.
a) (i) Sim, (ii) Sim
b) (i) Não, (ii) Sim
c) (i) Sim, (ii) Não
d) (i) Não, (ii) Não
Considere uma reta r, um ponto A 6∈ r e três pontos B,C,D ∈ r, tais que C está entre B e D. Em cada um dos itens a seguir, decida se os dados são suficientes para determinar com certeza as medidas de:
(i) cada um dos lados do triângulo ABC;
(ii) cada um dos ângulos do triângulo ABC.
Justifique rigorosamente as suas respostas.
(a) BC = 1 e B̂AC = 60◦;
(b) BC = 1 e ÂCD = 135◦;
(c) BC = 1, B̂AC = 60◦ e ÂCD =
(i) cada um dos lados do triângulo ABC
(ii) cada um dos ângulos do triângulo ABC
a) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (i) e (ii).
b) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (i) e (ii).
c) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (i), mas não de (ii).
d) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (ii), mas não de (i).
e) Não é suficiente para determinar com certeza as medidas de (i) e (ii).
a) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (i) e (ii).
b) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (i) e (ii).
c) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (i), mas não de (ii).
d) Suficiente para determinar com certeza as medidas de (ii), mas não de (i).
e) Não é suficiente para determinar com certeza as medidas de (i) e (ii).
Determine se as afirmacoes a seguir são verdadeiras ou falsas, justificando adequadamente e em detalhes as suas respostas.
(a) Se f : R → R e g : R → R são funções monótonas crescentes, então a função soma f + g : R → R, definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x) é monótona crescente.
(b) Se f : R→ R é uma função limitada superiormente, então f admite um ponto de máximo absoluto.
(c) Se f : R → R admite um ponto de máximo local, então f admite um ponto de máximo absoluto.
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Da mesma forma que se expressa um número real no sistema de numeração decimal, é possível expressá-lo em um sistema de numeração posicional qualquer, de base β ∈ N, β > 2. Dizemos que um número a ∈ R está expresso no sistema de base β se ele é escrito na forma:
a = a0 + ∞∑k=1 ak β−k em que a0 ∈ Z e os ak são dígitos entre 0 e β − 1 (incluindo-os).
(a) Mostre que, se um número x ∈ R é irracional, então x possui representação infinita em toda base β.
(b) Reciprocamente, mostre que, se um número x ∈ R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional.
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(A) 210
(B) 120
(C) 740
(D) 216
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