Segunda Prova de Aritmética - MA14 2012/2o semestre Problema 1 (valor: 2 pontos) Sejam n ∈ Z e p um número primo. Denota-se com Ep(n) o expoente...

a) Para justificar a afirmação, é necessário mostrar que se m = n, então Ep(m) = Ep(n) para todo número primo p, e se Ep(m) = Ep(n) para todo número primo p, então m = n. Para a primeira parte, suponha que m = n. Seja p um número primo qualquer. Então, podemos escrever m e n como m = p^k * x e n = p^l * x, onde k e l são inteiros não negativos e x é um inteiro positivo que não é divisível por p. Como m = n, temos que p^k * x = p^l * x, o que implica que p^k = p^l, já que x não é divisível por p. Portanto, Ep(m) = k = l = Ep(n) para todo número primo p. Para a segunda parte, suponha que Ep(m) = Ep(n) para todo número primo p. Queremos mostrar que m = n. Seja p um número primo qualquer. Então, podemos escrever m e n como m = p^k * x e n = p^l * x, onde k e l são inteiros não negativos e x é um inteiro positivo que não é divisível por p. Como Ep(m) = Ep(n), temos que k = l. Portanto, m = p^k * x = p^l * x = n. Logo, m = n. b) Para mostrar que [a, b, c]2(a, b)(a, c)(b, c) = (a, b, c)2[a, b][a, c][b, c], podemos usar a propriedade de que o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de três números a, b e c podem ser escritos como: (a, b, c) = abc/[a, b][a, c][b, c] e [a, b, c] = (a, b)(a, c)(b, c)/ (a, b, c) Substituindo essas expressões na equação, temos: [a, b, c]2(a, b)(a, c)(b, c) = [(a, b)(a, c)(b, c)]^2(a, b)(a, c)(b, c) = (a, b)^2(a, c)^2(b, c)^2(a, b)(a, c)(b, c) E (a, b, c)2[a, b][a, c][b, c] = [(abc/(a, b)(a, c)(b, c))]^2[a, b][a, c][b, c] = a^2b^2c^2/[a, b]^2[a, c]^2[b, c]^2[a, b][a, c][b, c] Dividindo as duas expressões, temos: [a, b, c]2(a, b)(a, c)(b, c) / (a, b, c)2[a, b][a, c][b, c] = (a, b)^2(a, c)^2(b, c)^2(a, b)(a, c)(b, c) / [a^2b^2c^2/[a, b]^2[a, c]^2[b, c]^2[a, b][a, c][b, c]] Simplificando, temos: [a, b, c]2(a, b)(a, c)(b, c) / (a, b, c)2[a, b][a, c][b, c] = a^2b^2c^2 / [a^2b^2c^2] = 1 Portanto, [a, b, c]2(a, b)(a, c)(b, c) = (a, b, c)2[a, b][a, c][b, c].