2. Demonstrar que, para quaisquer naturais n ≥ m, o coeficiente binomial(nm) = n! / (m!(n-m)!) é inteiro. Demonstrar que o coeficiente binomial (...

Para demonstrar que o coeficiente binomial (nm) é inteiro para quaisquer naturais n ≥ m, podemos utilizar o Princípio da Indução Matemática. Base: Para m = 0, temos que (n0) = 1, que é um número inteiro. Hipótese: Suponha que o coeficiente binomial (km) é inteiro para todo k ≥ m. Passo Indutivo: Vamos mostrar que o coeficiente binomial ((n+1)m) é inteiro. Podemos escrever: ((n+1)m) = (nm) + (nm-1) + ... + (n+1) Usando a fórmula do coeficiente binomial, temos: ((n+1)m) = (n! / (m!(n-m)!)) + ((n! / ((m-1)!(n-m+1)!))) + ... + (n! / ((n-m+1)!m!)) Podemos reescrever cada termo da soma como: (n! / (m!(n-m)!)) * (1 / ((n-m+1)/(m+1))) * ((n-m+2)/(m+2)) * ... * ((n-1)/n) * (n/(n-m+1)) Observe que cada termo da forma ((k+1)/k) é um número inteiro, pois k+1 e k são primos entre si. Portanto, cada termo da soma é um número inteiro, e a soma de números inteiros é um número inteiro. Assim, pelo Princípio da Indução Matemática, concluímos que o coeficiente binomial (nm) é inteiro para quaisquer naturais n ≥ m.