205. Para que o polinômio P(x) = 2x4 + x3 - 6x2 + αx + β tenha como raiz dupla o número 1, os valores de α e βdevem ser, respectivamente: a) 1 e...

Para que o polinômio P(x) = 2x4 + x3 - 6x2 + αx + β tenha como raiz dupla o número 1, os valores de α e β devem ser, respectivamente, -2 e 4. Portanto, a alternativa correta é a letra D) 1 e -2. Para encontrar esses valores, podemos utilizar o fato de que se 1 é uma raiz dupla de P(x), então (x-1)² é um fator do polinômio. Assim, temos: P(x) = 2x4 + x3 - 6x2 + αx + β = 2(x-1)²(x^2 + 4x + c) Expandindo o produto (x-1)², temos: P(x) = 2(x^4 - 2x^3 + x^2) + x^3 - 2x^2 + αx + β = 2x^4 - 3x^3 - x^2 + αx + β Igualando os coeficientes de P(x) e (x-1)²(x^2 + 4x + c), temos: - O coeficiente de x³: 1 = -2a, onde a é o coeficiente do termo x^3 em (x^2 + 4x + c). - O coeficiente de x²: -6 = a + 4c - 2, onde c é o coeficiente do termo x^2 em (x^2 + 4x + c). - O coeficiente de x: α = -2a - 4c. - O coeficiente independente: β = ac. Resolvendo esse sistema de equações, encontramos α = -2 e β = 4, portanto a alternativa correta é a letra D) 1 e -2.