414. O lado, o perímetro e a área de um triângulo equilátero, nesta ordem, são termos de uma Progressão Geométrica. Assim, a medida da altura desse...

Para resolver essa questão, podemos utilizar as fórmulas do perímetro e da área do triângulo equilátero, que são: Perímetro = 3 x lado Área = (lado x altura) / 2 Sabemos que o lado, o perímetro e a área formam uma Progressão Geométrica, então podemos escrever: Perímetro / Lado = Lado / Altura 3L / L = L / H 3 = H / L H = 3L Substituindo na fórmula da área, temos: A = (L x H) / 2 A = (L x 3L) / 2 A = (3L²) / 2 Agora, precisamos encontrar o valor de L para calcular a altura. Como a Progressão Geométrica é formada por três termos, podemos escrever: L, 3L, 9L E sabemos que a razão entre eles é: 3L / L = L / 9L 3 = L² / 9L² L² = 27L² L = 3√3 Substituindo na fórmula da altura, temos: H = 3L H = 3 x 3√3 H = 9√3 Portanto, a medida da altura desse triângulo equilátero é 9√3 unidades de comprimento. A alternativa correta é a letra A) 12 3.