840. Sejam ABC um triângulo retângulo em A, AM a mediana relativa a BC , CN a bissetriz interna de Ĉ e D é o ponto de intersecção entre AM e C...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema de Ceva e algumas propriedades dos triângulos retângulos. Primeiro, vamos encontrar o valor do ângulo C do triângulo ABC. Como CBÂ = 20º e ABC é um triângulo retângulo em A, temos que CAB = 90º - CBÂ = 70º. Agora, vamos utilizar o Teorema de Ceva no triângulo ABC, considerando a ceviana AM. Temos: BM/MC * CT/TA * AN/NB = 1 Como AM é mediana, temos BM = MC, ou seja, BM/MC = 1. Além disso, CT/TA = CB/AB, pois CT é a bissetriz interna de Ĉ e CBÂ = 20º. Substituindo esses valores na equação acima, temos: 1 * CB/AB * AN/NB = 1 Como ABC é um triângulo retângulo em A, temos AB = AC * √2. Além disso, AN é a bissetriz interna de Â, então AN/BN = AC/BC. Substituindo esses valores na equação acima, temos: CB/(AC * √2) * AC/BC = 1 Simplificando, temos: CB/BC√2 = 1 CB² = BC²/2 Como ABC é um triângulo retângulo em A, temos CB² + AB² = CA². Substituindo CB² por BC²/2, temos: BC²/2 + AB² = CA² BC²/2 + (AC * √2)² = (2AC)² BC²/2 + 2AC² = 4AC² BC²/2 = 2AC² BC/AC = √8 = 2√2 Agora, vamos encontrar o valor do ângulo D̂MC. Como CN é a bissetriz interna de Ĉ, temos D̂CN = ĈCB/2 = 10º. Além disso, como ABC é um triângulo retângulo em A, temos D̂AC = 90º - ĈCB = 80º. Como D é o ponto de intersecção entre AM e CN, temos que D̂MC = D̂AC - D̂CN = 80º - 10º = 70º. Por fim, vamos encontrar o valor do ângulo MD̂C. Como MD é mediana, temos MD = AD = BD. Além disso, como CN é a bissetriz interna de Ĉ, temos D̂CN = D̂CB. Como D̂MC = 70º, temos: MD̂C = 180º - 2D̂MC = 180º - 2(70º) = 40º Portanto, a alternativa correta é a letra E) 105.