No sistema de coordenadas polares, considere os pontos O = (0, 0), A = (1, 0), P = (ρ, θ) e Q = (1/ρ, θ+π/2), onde 0 < θ < π/2 e ρ > 0. Se a área d...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula da área do triângulo, que é dada por: Área = (base x altura)/2 No triângulo OAP, a base é OA, que tem comprimento 1, e a altura é a distância entre o ponto P e a reta OA. Podemos calcular essa distância utilizando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta: d = |ρ cos(θ) - 1 sin(θ)| No triângulo OAQ, a base é OA, que tem comprimento 1, e a altura é a distância entre o ponto Q e a reta OA. Podemos calcular essa distância da mesma forma: d' = |(1/ρ) cos(θ + π/2) - 1 sin(θ + π/2)| = |(1/ρ) sin(θ) + cos(θ)| Sabemos que a área do triângulo OAP é o dobro da área do triângulo OAQ, ou seja: (base x altura)/2 = 2 x (base x altura')/2 Simplificando, temos: d = 2d' Substituindo as fórmulas de d e d', temos: |ρ cos(θ) - 1 sin(θ)| = 2 |(1/ρ) sin(θ) + cos(θ)| Elevando ambos os lados ao quadrado e simplificando, temos: ρ^2 - 4ρ cos(θ) + 4 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau em ρ, temos: ρ = 2 cos(θ) ± 2√(cos^2(θ) - 1) Como 0 < θ < π/2, temos que cos(θ) > 0 e cos^2(θ) < 1. Portanto, a raiz quadrada é real e positiva, e podemos simplificar a expressão para: ρ = 2 cos(θ) + 2√(1 - cos^2(θ)) Usando a identidade trigonométrica sen^2(θ) + cos^2(θ) = 1, temos: ρ = 2 cos(θ) + 2√(sen^2(θ)) ρ = 2 cos(θ) + 2 sen(θ) ρ = 2 (cos(θ) + sen(θ)) Podemos simplificar ainda mais usando a identidade trigonométrica cos(θ + π/4) = (cos(θ) - sen(θ))/√2: ρ = 2 (cos(θ + π/4)√2) ρ = 2√2 cos(θ + π/4) Como 0 < θ < π/2, temos que π/4 < θ + π/4 < 3π/4. Portanto, cos(θ + π/4) é positivo, e podemos simplificar ainda mais: ρ = 2√2 cos(θ + π/4) Agora podemos verificar qual das alternativas corresponde a essa expressão. Substituindo ρ por cada uma das alternativas, temos: a) ρ = 1/2 -> 2√2 cos(θ + π/4) = √2, que não é verdadeiro para 0 < θ < π/2 b) ρ = √2/2 -> 2√2 cos(θ + π/4) = 2, que é verdadeiro para θ = π/4 c) ρ = 2 -> 2√2 cos(θ + π/4) = 2√2, que não é verdadeiro para 0 < θ < π/2 d) ρ = 2√2 -> 2√2 cos(θ + π/4) = 4, que não é verdadeiro para 0 < θ < π/2 e) ρ = 2√3 -> 2√2 cos(θ + π/4) = 2√6, que não é verdadeiro para 0 < θ < π/2 Portanto, a alternativa correta é a letra b) √2/2.