15. Cefet-RJ No intervalo 0 ≤ x ≤ 2x, a equação trigonométrica sen9 x + sen8 x + sen7 x + … + sen x + 1 = 0: a) não tem solução. b) tem uma úni...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a identidade trigonométrica: sen(a) + sen(a + b) = 2 . sen[(a + b)/2] . cos[(a - b)/2] Aplicando essa identidade, podemos reescrever a equação como: 2 . sen(5x + 9/2) . cos(7/2) + 2 . sen(5x + 7/2) . cos(5/2) + ... + 2 . sen(3x + 3/2) . cos(1/2) + 2 . sen(3x + 1/2) . cos(-1/2) + sen(x + 1) = 0 Note que a última parcela não pode ser reescrita dessa forma. No entanto, podemos observar que o valor máximo de sen(x + 1) é 1 e o valor mínimo é -1. Portanto, a equação só pode ser satisfeita se a soma das outras parcelas for igual a um valor entre -1 e 1. Como cada parcela é o produto de uma função seno e uma função cosseno, ambas limitadas entre -1 e 1, a soma das parcelas também é limitada entre -1 e 1. Portanto, a equação tem pelo menos uma solução. Além disso, como a função seno oscila entre -1 e 1, a soma das parcelas também oscila entre -2 e 2. Portanto, a equação não pode ter mais do que duas soluções. Concluímos que a alternativa correta é a letra c) tem duas soluções.