19. Mackenzie-SP Dividindo-se P(x) = x2 + bx + c por x – 1 e por x + 2, obtém-se o mesmo resto 3. Então, a soma das raízes de P(x) – 3 é: a) –3 b...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema do Resto e a identidade de Briot-Ruffini. Sabemos que o resto da divisão de P(x) por x - 1 é 3 e o resto da divisão de P(x) por x + 2 também é 3. Portanto, podemos escrever: P(x) = Q(x)(x - 1) + 3 P(x) = R(x)(x + 2) + 3 Onde Q(x) e R(x) são os quocientes das divisões. Agora, podemos utilizar a identidade de Briot-Ruffini para encontrar os valores de b e c: 1 | 1 b c | 1 b-1 |------- | 1 b+1 b+c-1 -2 | 1 b c | -2 -2b-2 |--------- | 1 b-2 c-2b+2 Como o resto é o mesmo nas duas divisões, temos que: 3 = Q(1) = R(-2) Substituindo na primeira tabela, temos: 1 | 1 b c | 1 b-1 |------- | 1 b+1 b+c-1 3 | 3 3 3 |------- | 1 b+4 b+c+2 Substituindo na segunda tabela, temos: -2 | 1 b c | -2 -2b-2 |--------- | 1 b-2 c-2b+2 | 3 3 3 |--------- | 1 b+1 b+c-1 Agora, podemos igualar os dois resultados para encontrar b e c: b + 4 = b + 1 b + c + 2 = b + c - 1 A primeira equação não nos ajuda a encontrar b, mas a segunda nos diz que: 3 = -1 O que é impossível. Portanto, não há solução para essa equação e nenhuma das alternativas apresentadas é correta.