Dados os quadrados Q e Q′ de vértices z0 = 0, z1 = 1, z2 = 1+ i, z3 = i e z′0 = 2, z′1 = 2+2√2+√2i, z′2 = 2+2/√2i, z′3 = 2−2√2+√2i, respectivament...

Para encontrar um polinômio p(z) ∈ C[z], do 1o grau, tal que p(Q) = Q′, podemos usar a transformação linear do plano complexo. Primeiro, precisamos encontrar a transformação linear que leva os vértices do quadrado Q nos vértices do quadrado Q′. Podemos fazer isso usando a fórmula: f(z) = az + b Onde a e b são números complexos a serem determinados. Para encontrar a e b, podemos usar os pares de vértices correspondentes: f(0) = z′0 = 2 f(1) = z′1 = 2+2√2+√2i f(1+i) = z′2 = 2+2/√2i f(i) = z′3 = 2−2√2+√2i Substituindo z = 0, temos: f(0) = a(0) + b = b Portanto, b = 2. Substituindo z = 1, temos: f(1) = a(1) + b = 2+2√2+√2i Portanto, a + b = 2+2√2+√2i. Substituindo z = 1+i, temos: f(1+i) = a(1+i) + b = 2+2/√2i Portanto, a(1+i) + b = 2+2/√2i. Substituindo z = i, temos: f(i) = a(i) + b = 2−2√2+√2i Portanto, a(i) + b = 2−2√2+√2i. Agora, podemos resolver o sistema de equações para encontrar a e b: a + b = 2+2√2+√2i a(1+i) + b = 2+2/√2i a(i) + b = 2−2√2+√2i Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos: a(1+i) - a = 2√2i Portanto, a = 2√2i/(1+i) = 2i. Substituindo a em uma das equações, temos: b = 2+2√2+√2i - a = 2+2√2+√2i - 2i = 2√2+√2i. Assim, a transformação linear que leva Q em Q′ é dada por: f(z) = 2iz + (2√2+√2i) Agora, podemos encontrar o polinômio p(z) que leva Q em Q′. Como f(z) é uma transformação linear, ela preserva as retas e, portanto, preserva os segmentos de reta que ligam os vértices do quadrado Q. Como Q é um quadrado, esses segmentos de reta são diagonais, que são retas que passam pelo ponto médio dos lados do quadrado. Portanto, para encontrar p(z), basta encontrar a equação da reta que passa pelo ponto médio dos lados do quadrado Q e do quadrado Q′. O ponto médio do lado que liga z0 e z1 é (z0+z1)/2 = 1/2. O ponto médio do lado que liga z1 e z2 é (z1+z2)/2 = (1+1+i)/2 = 1+i/2. Portanto, a equação da reta que passa por esses pontos é: z = 1/2 + t(1+i/2) O ponto médio do lado que liga z2 e z3 é (z2+z3)/2 = (1+i+i−1)/2 = i. O ponto médio do lado que liga z3 e z0 é (z3+z0)/2 = i/2. Portanto, a equação da reta que passa por esses pontos é: z = i/2 + t(1−i/2) Agora, podemos encontrar o polinômio p(z) que leva Q em Q′. Como p(z) é do 1o grau, podemos escrevê-lo na forma: p(z) = az + b Onde a e b são números complexos a serem determinados. Como p(Q) = Q′, temos: p(z0) = z′0 = 2 p(z1) = z′1 = 2+2√2+√2i p(z2) = z′2 = 2+2/√2i p(z3) = z′3 = 2−2√2+√2i Substituindo z0, temos: p(z0) = a(0) + b = b Portanto, b = 2. Substituindo z1, temos: p(z1) = a(1) + b = 2+2√2+√2i Portanto, a + b = 2+2√2+√2i. Substituindo z2, temos: p(z2) = a(1+i) + b = 2+2/√2i Portanto, a(1+i) + b = 2+2/√2i. Substituindo z3, temos: p(z3) = a(i) + b = 2−2√2+√2i Portanto, a(i) + b = 2−2√2+√2i. Agora, podemos resolver o sistema de equações para encontrar a e b: a + b = 2+2√2+√2i a(1+i) + b = 2+2/√2i a(i) + b = 2−2√2+√2i Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos: a(1+i) - a = 2√2i Portanto, a = 2√2i/(1+i) = 2i. Substituindo a em uma das equações, temos: b = 2+2√2+√2i - a = 2+2√2+√2i - 2i = 2√2+√2i. Assim, o polinômio p(z) que leva Q em Q′ é dado por: p(z) = 2iz + (2√2+√2i)