13. Cefet-RJ A combinação de m elementos tomados p a p é representada por Cm,p. Sendo 3/7 a razão entre C2m e C3m, o valor de C5m é: a) 25 d) 126 b...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula de combinação: Cm,p = m! / (p! * (m-p)!) Sabemos que a razão entre C2m e C3m é 3/7, então podemos escrever: C2m / C3m = 3/7 Substituindo as fórmulas de combinação, temos: (2m! / (2! * (2m-2)!)) / (3m! / (3! * (3m-3)!)) = 3/7 Simplificando, temos: (2m * (2m-1)) / (6 * (3m-2) * (3m-1) * 3) = 3/7 Multiplicando ambos os lados por 42 * 3 * (3m-2) * (3m-1), temos: (2m * (2m-1)) * (42 * 3 * (3m-2) * (3m-1)) / (6 * (3m-2) * (3m-1) * 3) = 3/7 * (42 * 3 * (3m-2) * (3m-1)) Simplificando, temos: 4m * (2m-1) = 126 * (3m-2) * (3m-1) Expandindo, temos: 8m^2 - 4m = 1134m^2 - 2262m + 1260 Simplificando, temos: 1126m^2 - 2258m + 1260 = 0 Dividindo ambos os lados por 2, temos: 563m^2 - 1129m + 630 = 0 Podemos resolver essa equação do segundo grau utilizando a fórmula de Bhaskara: m = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a Substituindo os valores, temos: m = (-(-1129) ± sqrt((-1129)^2 - 4 * 563 * 630)) / (2 * 563) m = (1129 ± sqrt(1129^2 - 4 * 563 * 630)) / 1126 m = (1129 ± sqrt(319681)) / 1126 m = (1129 ± 565) / 1126 m = 1 ou m = 630/563 Como m precisa ser um número inteiro, temos que m = 1. Agora podemos calcular C5m: C5m = 5! / (5-1)! * 1! C5m = 5! / 4! C5m = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 / (4 * 3 * 2 * 1) C5m = 5 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 25.