PUC-RS Se A = −3 1 4 5 e B = 1 −4 2 3 , então: det (A2B2) é igual a: a) –1 b) 1 c) 5 d) −7/5 e) 7/5

Para calcular o determinante de \( A^2B^2 \), podemos usar a propriedade dos determinantes que diz que \( \text{det}(AB) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B) \) e \( \text{det}(A^n) = (\text{det}(A))^n \). Primeiro, vamos calcular os determinantes de \( A \) e \( B \). Para a matriz \( A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \): \[ \text{det}(A) = (-3) \cdot 5 - 1 \cdot 4 = -15 - 4 = -19 \] Para a matriz \( B = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \): \[ \text{det}(B) = 1 \cdot 3 - (-4) \cdot 2 = 3 + 8 = 11 \] Agora, calculamos \( \text{det}(A^2) \) e \( \text{det}(B^2) \): \[ \text{det}(A^2) = (\text{det}(A))^2 = (-19)^2 = 361 \] \[ \text{det}(B^2) = (\text{det}(B))^2 = (11)^2 = 121 \] Agora, podemos calcular \( \text{det}(A^2B^2) \): \[ \text{det}(A^2B^2) = \text{det}(A^2) \cdot \text{det}(B^2) = 361 \cdot 121 \] Calculando \( 361 \cdot 121 \): \[ 361 \cdot 121 = 43681 \] Como a pergunta pede o valor de \( \text{det}(A^2B^2) \) e não está entre as opções, parece que houve um erro na interpretação ou nos cálculos. Vamos verificar as opções novamente. Nenhuma das opções fornecidas corresponde ao resultado obtido. Portanto, você deve revisar os dados ou a pergunta. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!