58. Unicamp-SP Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear abaixo: λx + y + z = λ + 2 x + λy + z = λ + 2 x + y + λz = λ + 2 a) Ach...

a) Para encontrar as raízes da equação detA = 0, basta calcular o determinante da matriz A e igualá-lo a zero: detA = λ(λ² - 1) - (λ - 1) + 1 - λ(λ - 1) = λ³ - λ² - λ + 1 = (λ - 1)²(λ + 1) Portanto, as raízes da equação são λ = 1 e λ = -1. b) Para encontrar a solução geral do sistema para λ = -2, basta substituir esse valor na matriz A e resolver o sistema resultante: x - y - z = 0 x - 2y - z = 0 x - y - 2z = 0 Podemos escrever esse sistema na forma matricial AX = 0, onde X é o vetor coluna (x, y, z) e A é a matriz dos coeficientes. Para encontrar a solução geral, precisamos encontrar a base do espaço nulo de A, ou seja, os vetores que satisfazem AX = 0. Podemos resolver esse sistema por eliminação gaussiana: 1 -1 -1 | 0 1 -2 -1 | 0 1 -1 -2 | 0 Subtraindo a primeira linha da segunda e da terceira, obtemos: 1 -1 -1 | 0 0 -1 0 | 0 0 0 -1 | 0 Portanto, a solução geral do sistema para λ = -2 é dada por x = y = z. Podemos escolher qualquer valor para y e z e obteremos x = y = z. Portanto, a solução geral é dada por (x, y, z) = t(1, 1, 1), onde t é um número real.