UECE Resolva a equação tg2x + sen2x = 3cos2x no intervalo [0, 2π]. A soma de todas as suas raízes nesse intervalo é igual a: a) 4π b) 3π c) 2π d) π...

Para resolver a equação tg2x + sen2x = 3cos2x no intervalo [0, 2π], podemos utilizar as identidades trigonométricas para transformar a equação em uma forma mais simples. tg2x + sen2x = 3cos2x tg2x + sen2x = 3(1 - sen2x) tg2x + 3sen2x = 3 tg2x = 3 - 3sen2x tg2x = 3cos2x tg2x = 3(1 - sen2x) tg2x = 3 - 3sen2x tg2x = 3cos2x Podemos substituir tg2x por sen2x/cos2x e obter uma equação quadrática em sen2x: sen2x/cos2x = 3 - 3sen2x sen2x = 3cos2x - 3sen2x.cos2x sen2x(1 + 3cos2x) = 3cos2x sen2x = 3cos2x / (1 + 3cos2x) Agora podemos substituir sen2x por 1 - cos2x e obter uma equação cúbica em cos2x: 1 - cos2x = 3cos2x / (1 + 3cos2x) (1 + 3cos2x)(1 - cos2x) = 3cos2x 1 - cos4x + 3cos2x - 3cos4x = 3cos2x 4cos4x - 6cos2x + 1 = 0 Podemos fazer a substituição y = cos2x e obter uma equação quadrática em y: 4y^2 - 6y + 1 = 0 Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes y = 1/2 e y = 1/2. Substituindo y = cos2x, encontramos as raízes cos2x = 1/2 e cos2x = 1/2. As soluções para cos2x = 1/2 são x = π/4 e x = 7π/4. A soma de todas as raízes no intervalo [0, 2π] é π/4 + 7π/4 = 2π. Portanto, a alternativa correta é a letra c) 2π.