59. UFCE Seja (1 + x + x2)10 = A0 + A1x + A2x2 + … + A20 x20. Assinale a alternativa na qual consta o valor de A1 + A3 + A5 + … + A19. a) 39 + 38...

Podemos utilizar a fórmula de Newton para desenvolver a expressão (1 + x + x²)¹⁰. Essa fórmula é dada por: (1 + x)ⁿ = C₀ⁿ + C₁ⁿ x + C₂ⁿ x² + ... + Cₙⁿ xⁿ Onde Cₖⁿ = n! / (k! * (n - k)!) Substituindo n = 10, temos: (1 + x + x²)¹⁰ = C₀¹⁰ + C₁¹⁰ x + C₂¹⁰ x² + ... + C₁₀¹⁰ x¹⁰ Agora, para encontrar o valor de A1 + A3 + A5 + ... + A19, precisamos somar os coeficientes ímpares. Podemos reescrever a expressão acima como: (1 + x + x²)¹⁰ = (C₀ + C₂ + C₄ + ... + C₂₀) + (C₁ + C₃ + C₅ + ... + C₁₉) x Portanto, A1 + A3 + A5 + ... + A19 = C₁ + C₃ + C₅ + ... + C₁₉. Usando a fórmula de Newton, podemos calcular cada um desses coeficientes: C₁ⁱ = 10! / (1! * (10 - 1)!) = 10 C₃ⁱ = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120 C₅ⁱ = 10! / (5! * (10 - 5)!) = 252 ... C₁₉ⁱ = 10! / (19! * (10 - 19)!) = 0 Portanto, A1 + A3 + A5 + ... + A19 = C₁ + C₃ + C₅ + ... + C₁₉ = 10 + 120 + 252 + ... + 0 = 210. Resposta: letra c) 310.