59. UFCE Seja (1 + x + x2)10 = A
0
+ A
1
x + A
2
x2 + … + A
20
x20. Assinale a alternativa na qual
consta o valor de A
1
+ A
3
+ A
5
+ … + A
1...

Question

59. UFCE Seja (1 + x + x2)10 = A0 + A1x + A2x2 + … + A20 x20. Assinale a alternativa na qualconsta o valor de A1 + A3 + A5 + … + A19.a) 39 + 38 + 37 + … + 3 + 1b) 0c) 310d) 39 – 38 + 37 – 36 + … + 3 – 1e) 1a) 39 + 38 + 37 + … + 3 + 1b) 0c) 310d) 39 – 38 + 37 – 36 + … + 3 – 1e) 1

Ed · Answer

Podemos utilizar a fórmula de Newton para resolver essa questão. A fórmula de Newton é dada por:

A
k
= (10! / k! (10 - k)!) * 1^k * 1^(10-k)

Onde k é o índice do termo A
k
.

Para encontrar a soma dos termos ímpares, podemos somar os termos A
1
, A
3
, A
5
, ..., A
19
.

A
1
 = (10! / 1! 9!) * 1^1 * 1^9 = 10 * 1 = 10

A
3
 = (10! / 3! 7!) * 1^3 * 1^7 = 120 * 1 = 120

A
5
 = (10! / 5! 5!) * 1^5 * 1^5 = 252 * 1 = 252

A
7
 = (10! / 7! 3!) * 1^7 * 1^3 = 120 * 1 = 120

A
9
 = (10! / 9! 1!) * 1^9 * 1^1 = 10 * 1 = 10

A soma dos termos ímpares é:

A
1
 + A
3
 + A
5
 + A
7
 + A
9
 + A
11
 + A
13
 + A
15
 + A
17
 + A
19
= 10 + 120 + 252 + 120 + 10 + A
11
 + A
13
 + A
15
 + A
17
 + A
19

Podemos observar que os termos A
11
, A
13
, A
15
, A
17
e A
19
são iguais aos termos A
9
, A
7
, A
5
, A
3
e A
1
, respectivamente, mas com sinais alternados. Portanto, podemos reescrever a soma como:

A
1
 + A
3
 + A
5
 + A
7
 + A
9
 + A
11
 + A
13
 + A
15
 + A
17
 + A
19
= 10 + 120 + 252 + 120 + 10 - A
9
 + A
7
 - A
5
 + A
3
 - A
1

A soma dos termos com sinais alternados é:

A
9
 - A
7
 + A
5
 - A
3
 + A
1
= (10! / 9! 1!) * 1^9 * 1^1 - (10! / 7! 3!) * 1^7 * 1^3 + (10! / 5! 5!) * 1^5 * 1^5 - (10! / 3! 7!) * 1^3 * 1^7 + (10! / 1! 9!) * 1^1 * 1^9
= 10 - 120 + 252 - 120 + 10
= 32

Substituindo na equação anterior, temos:

A
1
 + A
3
 + A
5
 + A
7
 + A
9
 + A
11
 + A
13
 + A
15
 + A
17
 + A
19
= 10 + 120 + 252 + 120 + 10 - 32
= 480

Portanto, a alternativa correta é a letra a) 39 + 38 + 37 + ... + 3 + 1.

59. UFCE Seja (1 + x + x2)10 = A 0 + A 1 x + A 2 x2 + … + A 20 x20. Assinale a alternativa na qual consta o valor de A 1 + A 3 + A 5 + … + A 1...

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