Prove that the function f(z) = zRe(z) is holomorphic only at the origin. The Cauchy-Riemann equations are satisfied only at the origin. The limit ...

Para provar que a função f(z) = zRe(z) é holomorfa apenas na origem, podemos usar o critério de Cauchy-Riemann. As equações de Cauchy-Riemann para uma função f(z) = u(x,y) + iv(x,y) são: ∂u/∂x = ∂v/∂y ∂u/∂y = -∂v/∂x Para a função f(z) = zRe(z), temos: u(x,y) = x^2 * y v(x,y) = 0 Então, as equações de Cauchy-Riemann se tornam: 2xy = 0 x^2 = -y A única solução para essas equações é x = y = 0, que é a origem. Portanto, as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas apenas na origem. Além disso, podemos calcular o limite de f(z)/z quando z se aproxima de 0. Temos: f(z)/z = (zRe(z))/z = Re(z) Como z se aproxima de 0, Re(z) se aproxima de 0. Portanto, o limite de f(z)/z quando z se aproxima de 0 é 0. Assim, podemos concluir que a função f(z) = zRe(z) é holomorfa apenas na origem.