30. Cefet-PR A expressão sen a sen a 5 2 7 5 2 π π π + +( ) ⋅ −     cos é igual a: a) cos2a d) cossec2a b) se...

Para simplificar a expressão trigonométrica dada, podemos utilizar as seguintes identidades trigonométricas: sen(2a) = 2sen(a)cos(a) cos(2a) = cos²(a) - sen²(a) cossec(a) = 1/sen(a) Substituindo na expressão dada, temos: sen(a)sen(a+5π/7) + (5/2)cos(a+5π/7) - (2/5)sen(a)cos(a+5π/7) = sen(a)sen(a+5π/7) + (5/2)[cos(a)cos(5π/7) - sen(a)sen(5π/7)] - (2/5)sen(a)cos(a)cos(5π/7) = sen(a)sen(a+5π/7) + (5/2)[(cos(a)cos(2π/5) - sen(a)sen(2π/5))] - (2/5)sen(a)cos(a)cos(2π/5) = sen(a)sen(a+5π/7) + (5/2)[(cos(a)(-1/2) - sen(a)(√3/2))] - (2/5)sen(a)cos(a)(-1/2) = sen(a)sen(a+5π/7) - (5/4)cos(a) + (1/5)sen(a)cos(a) = sen(a)sen(a+5π/7) + (1/5)sen(a)cos(a) - (5/4)cos(a) = sen(a)[sen(a+5π/7) + (1/5)cos(a)] - (5/4)cos(a) Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica: cossec²(a) = 1 + cot²(a) Onde cot(a) = cos(a)/sen(a) Substituindo na expressão acima, temos: cossec²(a) = 1 + (cos(a)/sen(a))² cossec²(a) = 1 + cos²(a)/sen²(a) cossec²(a) = (sen²(a) + cos²(a))/sen²(a) cossec²(a) = 1/sen²(a) Portanto, a expressão dada é equivalente a: sen(a)[sen(a+5π/7) + (1/5)cos(a)] - (5/4)cos(a) Que é equivalente a: cossec²(a)sen(a)[sen(a+5π/7) + (1/5)cos(a)] - (5/4)cos(a)cossec²(a) Assim, a alternativa correta é a letra D) cossec²a.