24. UFF-RJ Na figura, MNPQ é um retângulo, MNUV é
um paralelogramo, as medidas de MQ e MV são iguais
e 0º

Question

24. UFF-RJ Na figura, MNPQ é um retângulo, MNUV é
um paralelogramo, as medidas de MQ e MV são iguais
e 0º < α < 45º.
Indicando-se por S a área de MNPQ e por S’ a área de MNUV,
conclui-se:

a) S = S’ sen α
d) S = S’ cos α
b) S’ = S
e) S’ = S sen α
c) S’ = S cos α

MNPQ é um retângulo, MNUV é um paralelogramo, as medidas de MQ e MV são iguais e 0º < α < 45º.
Indicando-se por S a área de MNPQ e por S’ a área de MNUV.
a) S = S’ sen α
b) S’ = S
c) S’ = S cos α
d) S = S’ cos α
e) S’ = S sen α

Ed · Answer

A alternativa correta é a letra d) S = S’ cos α.

Como MQ e MV possuem medidas iguais, temos que o triângulo MNQ é isósceles, logo, os ângulos MNQ e QNM são iguais. Como MNUV é um paralelogramo, temos que o ângulo QNM é igual ao ângulo VUM.

Assim, podemos concluir que o triângulo VUM é semelhante ao triângulo MNQ, pois possuem dois ângulos iguais. Logo, as medidas dos lados correspondentes são proporcionais.

Dessa forma, temos que a área de MNUV é igual a MQ vezes MV vezes o seno do ângulo QNM (ou VUM). Já a área de MNPQ é igual a MQ vezes NP.

Substituindo MV por MQ e utilizando o fato de que NP é igual a MV vezes o cosseno do ângulo QNM (ou VUM), temos que:

S’ = MQ * MV * sen α
S = MQ * MV * cos α

Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:

S / S’ = cos α / sen α
S = S’ * cos α / sen α
S = S’ * cotg α

Multiplicando ambos os lados por sen α, temos:

S * sen α = S’ * cos α

Portanto, a alternativa correta é a letra d) S = S’ cos α.

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