32. UFR-RJ Se girarmos a parte hachurada da circunferência de raio 4 em torno do eixo y, formaremos um sólido de revolução. O volume deste sólido é...

Para calcular o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da parte hachurada da circunferência de raio 4 em torno do eixo y, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas. Utilizando o método das cascas, temos que o volume é dado por: V = ∫[a,b] 2πx f(x) dx Onde a e b são os limites de integração, f(x) é a função que descreve a circunferência e x é a distância do eixo y até o ponto da circunferência. A partir da figura, podemos observar que a distância do eixo y até a circunferência é dada por x = 4 - y. A equação da circunferência é x² + y² = 16, que pode ser reescrita como y = √(16 - x²). Substituindo y na equação de x, temos x = 4 - √(16 - x²). Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos x² = 16 - x², o que implica em x = 2√2. Assim, o volume do sólido de revolução é dado por: V = ∫[-2√2,2√2] 2πx √(16 - x²) dx Fazendo a substituição trigonométrica x = 4sin(θ), temos dx = 4cos(θ)dθ e √(16 - x²) = 4cos(θ). Substituindo na integral, temos: V = ∫[-π/4,π/4] 2π(4sin(θ))(4cos(θ))(4cos(θ)) dθ V = 32π ∫[-π/4,π/4] sin(θ)cos²(θ) dθ Fazendo a substituição u = cos(θ), temos du = -sin(θ)dθ e a integral se torna: V = -32π ∫[√2/2,-√2/2] u² du V = 32π ∫[-√2/2,√2/2] u² du V = 32π [(u³/3)|-√2/2,√2/2] V = 32π [(√2³/3) - (-√2³/3)] V = 32π (2√2/3) V = 64π/3 Portanto, a alternativa correta é a letra c) 128π/3.