UFRS Se, para todo número real k, o polinômio p(x) = xn – (k + 1)x2 + k é divisível por x2 – 1, então, o número n é: a) par. b) divisível por 4....

Para que o polinômio p(x) seja divisível por x² - 1, as raízes de x² - 1 devem ser raízes de p(x). As raízes de x² - 1 são x = 1 e x = -1. Portanto, temos: p(1) = n - (k + 1) + k = n - 1 p(-1) = (-1)^n + (k + 1) + k = (-1)^n + 2k + 1 Como p(x) é divisível por x² - 1, temos que p(1) = p(-1) = 0. Portanto, temos o seguinte sistema de equações: n - 1 = 0 (-1)^n + 2k + 1 = 0 Da primeira equação, temos que n = 1. Substituindo n = 1 na segunda equação, temos: (-1)^1 + 2k + 1 = 0 2k = -2 k = -1 Portanto, o polinômio p(x) é dado por: p(x) = x - 2 Como p(x) é divisível por x² - 1, temos que n é ímpar. Portanto, a alternativa correta é a letra: a) par. (errada) b) divisível por 4. (errada) c) múltiplo de 3. (errada) d) negativo. (errada) e) primo. (errada)