(a) Determine o menor número natural c para o qual a equação 5X + 7Y = c tenha exatamente 4 soluções em N ∪ {0}. (b) Determine, explicitamente...

(a) Para determinar o menor número natural c para o qual a equação 5X + 7Y = c tenha exatamente 4 soluções em N ∪ {0}, podemos usar a fórmula de Sylvester, que é dada por d = 5 * 7 - 5 - 7 = 23. Portanto, o menor número natural c é 23 * 4 = 92. (b) Para determinar as 4 soluções obtidas no item (a), podemos usar a fórmula geral de solução da equação diofantina linear 5X + 7Y = c, que é dada por X = X0 + 7t e Y = Y0 - 5t, onde X0 e Y0 são soluções particulares da equação e t é um inteiro qualquer. Podemos escolher X0 = 3 e Y0 = 4, então as 4 soluções são (3, 4), (10, -1), (17, -6) e (24, -11). (c) Para encontrar o menor valor de c que faz com que a equação tenha exatamente 4 soluções em N ∪ {0}, podemos usar a fórmula de Sylvester novamente e testar os valores de c a partir de 92. Podemos verificar que c = 115 é o menor valor que satisfaz a condição. (d) Para encontrar as 4 soluções da equação com o menor valor de c encontrado no item (c), podemos usar a fórmula geral de solução da equação diofantina linear 5X + 7Y = c, com c = 115. As 4 soluções são (6, 13), (13, 6), (20, -1) e (27, -8).