Seja f : R 3 → R definida por f ( x , y , z ) = x + 3 y 2 + z e τ o segmento de reta que une ( 0 , 0 , 0 ) e ( 1 , 1 , 1 ) . Calcule ∫ ...

Para calcular a integral de linha ∫ τ f d s, onde f (x, y, z) = x + 3y² + z e τ é o segmento de reta que une (0, 0, 0) e (1, 1, 1), podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a equação vetorial do segmento de reta que une os pontos (0, 0, 0) e (1, 1, 1): r(t) = (1 - t) * (0, 0, 0) + t * (1, 1, 1) = (t, t, t), onde 0 ≤ t ≤ 1. 2. Encontrar a derivada da equação vetorial: r'(t) = (1, 1, 1). 3. Calcular o comprimento do segmento de reta: ||r'(t)|| = √(1² + 1² + 1²) = √3. 4. Substituir os valores na integral de linha: ∫ τ f d s = ∫₀¹ f(r(t)) ||r'(t)|| dt = ∫₀¹ (t + 3t² + t) √3 dt = √3 * ∫₀¹ (4t² + t) dt = √3 * [4/3 t³ + 1/2 t²] de 0 a 1 = √3 * (4/3 + 1/2) = √3 * 11/6 = (11√3)/6. Portanto, o valor da integral de linha ∫ τ f d s é (11√3)/6.