Suponha que a chapa infinita D = {(x, y) ∈ R2; x > 0 e y > 0} tenha temperatura f(x, y) = y2−x2. As linhas de fluxo da chapa são aquelas por onde o...

Suponha que a chapa infinita D = {(x, y) ∈ R2; x > 0 e y > 0} tenha temperatura f(x, y) = y2−x2. As linhas de fluxo da chapa são aquelas por onde o calor flui, e são curvas ortogonais às curvas de nível de f. O surpreendente é que as linhas de fluxo são as curvas de nível de uma outra função g(x, y), dita a função conjugada de f(x, y). A menos de constante aditiva, essa nova função é definida pelas igualdades gx = fy e gy = −fx.

a) Esboce e identifique as curvas de nível de f nos níveis k = −1, k = 0 e k = 1.
b) Integre a igualdade gx = fy na variável x, notando que a constante de integração d = d(y) pode depender de y.
c) Derive o resultado do item anterior na variável y, compare com a igualdade gy = −fx e determine a função d(y) a menos de constante.
d) Esboce e identifique a curva de nível de g no nível c = 1 supondo a constante nula.
e) Justifique o fato de que as linhas de fluxo da chapa são as curvas de nível de g(x, y).