Para encontrar a matriz de mudança de base de \( B_1 \) para \( B_2 \), precisamos expressar os vetores da base \( B_1 \) em termos dos vetores da base \( B_2 \). As bases são: - \( B_1 = \{ (1, 1), (-1, 0) \} \) - \( B_2 = \{ (-1, 1), (2, -3) \} \) Vamos denotar os vetores de \( B_1 \) como \( v_1 = (1, 1) \) e \( v_2 = (-1, 0) \). Agora, precisamos expressar \( v_1 \) e \( v_2 \) como combinações lineares dos vetores de \( B_2 \). 1. Para \( v_1 = (1, 1) \): \[ (1, 1) = a(-1, 1) + b(2, -3) \] Isso resulta no sistema: \[ -a + 2b = 1 \quad (1) \] \[ a - 3b = 1 \quad (2) \] 2. Para \( v_2 = (-1, 0) \): \[ (-1, 0) = c(-1, 1) + d(2, -3) \] Isso resulta no sistema: \[ -c + 2d = -1 \quad (3) \] \[ c - 3d = 0 \quad (4) \] Resolvendo os sistemas (1) e (2) para \( v_1 \): - Da equação (2), temos \( c = 3d \). - Substituindo na equação (3): \[ -3d + 2d = -1 \implies -d = -1 \implies d = 1 \] \[ c = 3(1) = 3 \] Assim, para \( v_1 \): \[ v_1 = 3(-1, 1) + 1(2, -3) \implies (1, 1) = 3(-1, 1) + 1(2, -3) \] Agora, resolvendo os sistemas (3) e (4) para \( v_2 \): - Da equação (4), temos \( c = 3d \). - Substituindo na equação (3): \[ -c + 2d = -1 \implies -3d + 2d = -1 \implies -d = -1 \implies d = 1 \] \[ c = 3(1) = 3 \] Assim, para \( v_2 \): \[ v_2 = 3(-1, 1) + 1(2, -3) \implies (-1, 0) = 3(-1, 1) + 1(2, -3) \] Portanto, a matriz de mudança de base \( [M]_{B_1}^{B_2} \) é dada por: \[ [M]_{B_1}^{B_2} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \] Assim, a resposta correta é a matriz que expressa a mudança de base de \( B_1 \) para \( B_2 \).